微分積分例

$f (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$

ステップ 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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ステップ 1.1

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $\frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{2} x^{4}) + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.2.1

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{2} x^{4}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

ステップ 1.1.1.2.3

$4$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

ステップ 1.1.1.2.4

$\frac{4}{2}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

ステップ 1.1.1.2.5

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.1.2.5.1

$2$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

ステップ 1.1.1.2.5.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.1.2.5.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

ステップ 1.1.1.2.5.2.2

共通因数を約分します。

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

ステップ 1.1.1.2.5.2.3

式を書き換えます。

$f' (x) = \frac{2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

ステップ 1.1.1.2.5.2.4

$2 x^{3}$ を $1$ で割ります。

$f' (x) = 2 x^{3} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

ステップ 1.1.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{3}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f' (x) = 2 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} (x^{3})$

ステップ 1.1.1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 2 x^{3} + 2 (3 x^{2})$

ステップ 1.1.1.3.3

$3$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = 2 x^{3} + 6 x^{2}$

ステップ 1.1.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $2 x^{3} + 6 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

ステップ 1.1.2.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{3}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

ステップ 1.1.2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

ステップ 1.1.2.2.3

$3$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

ステップ 1.1.2.3

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.3.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x^{2}$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = 6 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} (x^{2})$

ステップ 1.1.2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 6 x^{2} + 6 (2 x)$

ステップ 1.1.2.3.3

$2$ に $6$ をかけます。

$f'' (x) = 6 x^{2} + 12 x$

ステップ 1.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $6 x^{2} + 12 x$ です。

$6 x^{2} + 12 x$

ステップ 1.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $6 x^{2} + 12 x = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$6 x^{2} + 12 x = 0$

ステップ 1.2.2

$6 x$ を $6 x^{2} + 12 x$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.2.1

$6 x$ を $6 x^{2}$ で因数分解します。

$6 x (x) + 12 x = 0$

ステップ 1.2.2.2

$6 x$ を $12 x$ で因数分解します。

$6 x (x) + 6 x (2) = 0$

ステップ 1.2.2.3

$6 x$ を $6 x (x) + 6 x (2)$ で因数分解します。

$6 x (x + 2) = 0$

ステップ 1.2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x + 2 = 0$

ステップ 1.2.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 1.2.5

$x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.5.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 1.2.5.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 1.2.6

最終解は $6 x (x + 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - 2$

ステップ 2

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 3

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 4

区間 $(- \infty, - 2)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $- 4$ で置換えます。

$f'' (- 4) = 6 {(- 4)}^{2} + 12 (- 4)$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

$- 4$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 4) = 6 \cdot 16 + 12 (- 4)$

ステップ 4.2.1.2

$6$ に $16$ をかけます。

$f'' (- 4) = 96 + 12 (- 4)$

ステップ 4.2.1.3

$12$ に $- 4$ をかけます。

$f'' (- 4) = 96 - 48$

ステップ 4.2.2

$96$ から $48$ を引きます。

$f'' (- 4) = 48$

ステップ 4.2.3

最終的な答えは $48$ です。

$48$

ステップ 4.3

$f'' (- 4)$ が正なので、区間 $(- \infty, - 2)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- \infty, - 2)$ で上に凹します。

ステップ 5

区間 $(- 2, 0)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f'' (- 1) = 6 {(- 1)}^{2} + 12 (- 1)$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 1) = 6 \cdot 1 + 12 (- 1)$

ステップ 5.2.1.2

$6$ に $1$ をかけます。

$f'' (- 1) = 6 + 12 (- 1)$

ステップ 5.2.1.3

$12$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (- 1) = 6 - 12$

ステップ 5.2.2

$6$ から $12$ を引きます。

$f'' (- 1) = - 6$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $- 6$ です。

$- 6$

ステップ 5.3

$f'' (- 1)$ が負なので、区間 $(- 2, 0)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- 2, 0)$ で下に凹します。

ステップ 6

区間 $(0, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f'' (2) = 6 {(2)}^{2} + 12 (2)$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$f'' (2) = 6 \cdot 4 + 12 (2)$

ステップ 6.2.1.2

$6$ に $4$ をかけます。

$f'' (2) = 24 + 12 (2)$

ステップ 6.2.1.3

$12$ に $2$ をかけます。

$f'' (2) = 24 + 24$

ステップ 6.2.2

$24$ と $24$ をたし算します。

$f'' (2) = 48$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $48$ です。

$48$

ステップ 6.3

$f'' (2)$ が正なので、区間 $(0, \infty)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(0, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 7

二次導関数が負のときグラフは下に凹で、二次導関数が正のときグラフは上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- \infty, - 2)$ で上に凹します。

$f'' (x)$ が負なので $(- 2, 0)$ で下に凹します。

$f'' (x)$ が正なので $(0, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例