微分積分例

$\int_{1}^{2} \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} d x$

ステップ 1

$u = \frac{1}{x}$ とします。次に $d u = - \frac{1}{x^{2}} d x$ すると、 $- d u = \frac{1}{x^{2}} d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = \frac{1}{x}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\frac{1}{x}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 1.1.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

ステップ 1.1.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- x^{- 2}$

ステップ 1.1.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 1.2

$u = \frac{1}{x}$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = \frac{1}{1}$

ステップ 1.3

$1$ を $1$ で割ります。

$u_{lower} = 1$

ステップ 1.4

$u = \frac{1}{x}$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

ステップ 1.5

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

ステップ 1.6

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} - e^{u} d u$

ステップ 2

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int_{1}^{\frac{1}{2}} e^{u} d u$

ステップ 3

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$- (e^{u}]_{1}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 4

代入し簡約します。

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ステップ 4.1

$\frac{1}{2}$ および $1$ で $e^{u}$ の値を求めます。

$- ((e^{\frac{1}{2}}) - e^{1})$

ステップ 4.2

簡約します。

$- (e^{\frac{1}{2}} - e)$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$- e^{\frac{1}{2}} - - e$

ステップ 5.2

$- - e$ を掛けます。

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ステップ 5.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- e^{\frac{1}{2}} + 1 e$

ステップ 5.2.2

$e$ に $1$ をかけます。

$- e^{\frac{1}{2}} + e$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- e^{\frac{1}{2}} + e$

10進法形式：

$1.06956055 \dots$

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例