微分積分例

$\int_{1}^{3} x^{2} \ln (x) d x$

ステップ 1

$u = \ln (x)$ と $d v = x^{2}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\ln (x) (\frac{1}{3} x^{3})]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

ステップ 2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$\ln (x) \frac{x^{3}}{3}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2

$\ln (x)$ と $\frac{x^{3}}{3}$ をまとめます。

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

ステップ 3

$\frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{3} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

ステップ 4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$x^{3}$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{3} \frac{x^{3}}{x} d x)$

ステップ 4.2

$x^{3}$ と $x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1

$x$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{3} \frac{x \cdot x^{2}}{x} d x)$

ステップ 4.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{3} \frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} d x)$

ステップ 4.2.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{3} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x)$

ステップ 4.2.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{3} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x)$

ステップ 4.2.2.4

式を書き換えます。

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{3} \frac{x^{2}}{1} d x)$

ステップ 4.2.2.5

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{3} x^{2} d x)$

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - \frac{1}{3} \int_{1}^{3} x^{2} d x$

ステップ 5

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3}$

ステップ 6

代入し簡約します。

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ステップ 6.1

$3$ および $1$ で $\frac{\ln (x) x^{3}}{3}$ の値を求めます。

$(\frac{\ln (3) \cdot 3^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3}$

ステップ 6.2

$3$ および $1$ で $\frac{1}{3} x^{3}$ の値を求めます。

$(\frac{\ln (3) \cdot 3^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

ステップ 6.3

簡約します。

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ステップ 6.3.1

$3$ を $3$ 乗します。

$\frac{\ln (3) \cdot 27}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

ステップ 6.3.2

$27$ を $\ln (3)$ の左に移動させます。

$\frac{27 \cdot \ln (3)}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

ステップ 6.3.3

$27$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.3.1

$3$ を $27 \ln (3)$ で因数分解します。

$\frac{3 (9 \ln (3))}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

ステップ 6.3.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.3.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{3 (9 \ln (3))}{3 (1)} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

ステップ 6.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 (9 \ln (3))}{3 \cdot 1} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

ステップ 6.3.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{9 \ln (3)}{1} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

ステップ 6.3.3.2.4

$9 \ln (3)$ を $1$ で割ります。

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

ステップ 6.3.4

1のすべての数の累乗は1です。

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1) \cdot 1}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

ステップ 6.3.5

$\ln (1)$ に $1$ をかけます。

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

ステップ 6.3.6

$3$ を $3$ 乗します。

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \cdot 27 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

ステップ 6.3.7

$\frac{1}{3}$ と $27$ をまとめます。

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{27}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

ステップ 6.3.8

$27$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.8.1

$3$ を $27$ で因数分解します。

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

ステップ 6.3.8.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.8.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

ステップ 6.3.8.2.2

共通因数を約分します。

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

ステップ 6.3.8.2.3

式を書き換えます。

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{9}{1} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

ステップ 6.3.8.2.4

$9$ を $1$ で割ります。

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (9 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

ステップ 6.3.9

1のすべての数の累乗は1です。

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (9 - \frac{1}{3} \cdot 1)$

ステップ 6.3.10

$- 1$ に $1$ をかけます。

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (9 - \frac{1}{3})$

ステップ 6.3.11

$9$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (9 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3})$

ステップ 6.3.12

$9$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{9 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3})$

ステップ 6.3.13

公分母の分子をまとめます。

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{9 \cdot 3 - 1}{3}$

ステップ 6.3.14

分子を簡約します。

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ステップ 6.3.14.1

$9$ に $3$ をかけます。

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{27 - 1}{3}$

ステップ 6.3.14.2

$27$ から $1$ を引きます。

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{26}{3}$

ステップ 6.3.15

$\frac{26}{3}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{26}{3 \cdot 3}$

ステップ 6.3.16

$3$ に $3$ をかけます。

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{26}{9}$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.1.1

$1$ の自然対数は $0$ です。

$9 \ln (3) - \frac{0}{3} - \frac{26}{9}$

ステップ 7.1.2

$0$ を $3$ で割ります。

$9 \ln (3) - 0 - \frac{26}{9}$

ステップ 7.1.3

$- 1$ に $0$ をかけます。

$9 \ln (3) + 0 - \frac{26}{9}$

ステップ 7.2

$9 \ln (3)$ と $0$ をたし算します。

$9 \ln (3) - \frac{26}{9}$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$9 \ln (3) - \frac{26}{9}$

10進法形式：

$6.99862170 \dots$

微分積分 例

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