微分積分例

$\int x^{9} e^{x^{10}} d x$

ステップ 1

$u_{1} = x^{2}$ とします。次に $d u_{1} = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u_{1} = x^{2}$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$x^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x$

ステップ 1.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int {\sqrt{u_{1}}}^{8} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{10}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

${\sqrt{u_{1}}}^{8}$ を ${u_{1}}^{4}$ に書き換えます。

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ステップ 2.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u_{1}}$ を ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{8} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{10}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 8} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{10}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.1.3

$\frac{1}{2}$ と $8$ をまとめます。

$\int {u_{1}}^{\frac{8}{2}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{10}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.1.4

$8$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.4.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$\int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{10}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.1.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2 (1)}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{10}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.1.4.2.2

共通因数を約分します。

$\int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{10}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.1.4.2.3

式を書き換えます。

$\int {u_{1}}^{\frac{4}{1}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{10}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.1.4.2.4

$4$ を $1$ で割ります。

$\int {u_{1}}^{4} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{10}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.2

${\sqrt{u_{1}}}^{10}$ を ${u_{1}}^{5}$ に書き換えます。

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ステップ 2.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u_{1}}$ を ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int {u_{1}}^{4} e^{{({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{10}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int {u_{1}}^{4} e^{{u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 10}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.2.3

$\frac{1}{2}$ と $10$ をまとめます。

$\int {u_{1}}^{4} e^{{u_{1}}^{\frac{10}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.2.4

$10$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.4.1

$2$ を $10$ で因数分解します。

$\int {u_{1}}^{4} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 5}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.2.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\int {u_{1}}^{4} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 5}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.2.4.2.2

共通因数を約分します。

$\int {u_{1}}^{4} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.2.4.2.3

式を書き換えます。

$\int {u_{1}}^{4} e^{{u_{1}}^{\frac{5}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.2.4.2.4

$5$ を $1$ で割ります。

$\int {u_{1}}^{4} e^{{u_{1}}^{5}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.3

$\frac{1}{2}$ と ${u_{1}}^{4}$ をまとめます。

$\int \frac{{u_{1}}^{4}}{2} e^{{u_{1}}^{5}} d u_{1}$

ステップ 2.4

$\frac{{u_{1}}^{4}}{2}$ と $e^{{u_{1}}^{5}}$ をまとめます。

$\int \frac{{u_{1}}^{4} e^{{u_{1}}^{5}}}{2} d u_{1}$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{4} e^{{u_{1}}^{5}} d u_{1}$

ステップ 4

$u_{2} = {u_{1}}^{5}$ とします。次に $d u_{2} = 5 {u_{1}}^{4} d u_{1}$ すると、 $\frac{1}{5} d u_{2} = {u_{1}}^{4} d u_{1}$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u_{2} = {u_{1}}^{5}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

${u_{1}}^{5}$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{5}]$

ステップ 4.1.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 {u_{1}}^{4}$

ステップ 4.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} \frac{1}{5} d u_{2}$

ステップ 5

$e^{u_{2}}$ と $\frac{1}{5}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} \int \frac{e^{u_{2}}}{5} d u_{2}$

ステップ 6

$\frac{1}{5}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{5}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{5} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$\frac{1}{5}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{5 \cdot 2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 7.2

$5$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{10} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 8

$e^{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $e^{u_{2}}$ です。

$\frac{1}{10} (e^{u_{2}} + C)$

ステップ 9

簡約します。

$\frac{1}{10} e^{u_{2}} + C$

ステップ 10

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 10.1

$u_{2}$ のすべての発生を ${u_{1}}^{5}$ で置き換えます。

$\frac{1}{10} e^{{u_{1}}^{5}} + C$

ステップ 10.2

$u_{1}$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{10} e^{{(x^{2})}^{5}} + C$

微分積分 例

微分積分例