微分積分例

$\int x^{2} \sin (3 x) d x$

ステップ 1

$u = x^{2}$ と $d v = \sin (3 x)$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$x^{2} (- \frac{1}{3} \cos (3 x)) - \int - \frac{1}{3} \cos (3 x) (2 x) d x$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$\cos (3 x)$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$x^{2} (- \frac{\cos (3 x)}{3}) - \int - \frac{1}{3} \cos (3 x) (2 x) d x$

ステップ 2.2

$x^{2}$ と $\frac{\cos (3 x)}{3}$ をまとめます。

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} - \int - \frac{1}{3} \cos (3 x) (2 x) d x$

ステップ 3

$- \frac{1}{3} \cdot 2$ は $x$ に対して定数なので、 $- \frac{1}{3} \cdot 2$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} - (- \frac{1}{3} \cdot 2 \int \cos (3 x) (x) d x)$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} - (- 2 (\frac{1}{3}) \int \cos (3 x) (x) d x)$

ステップ 4.2

$- 2$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} - (\frac{- 2}{3} \int \cos (3 x) (x) d x)$

ステップ 4.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} - (- \frac{2}{3} \int \cos (3 x) (x) d x)$

ステップ 4.4

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + 1 (\frac{2}{3} \int \cos (3 x) (x) d x)$

ステップ 4.5

$\frac{2}{3}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} \int \cos (3 x) (x) d x$

ステップ 5

$u = x$ と $d v = \cos (3 x)$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (x (\frac{1}{3} \sin (3 x)) - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x)$

ステップ 6

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ステップ 6.1

$\frac{1}{3}$ と $\sin (3 x)$ をまとめます。

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (x \frac{\sin (3 x)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x)$

ステップ 6.2

$x$ と $\frac{\sin (3 x)}{3}$ をまとめます。

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x)$

ステップ 6.3

$\frac{1}{3}$ と $\sin (3 x)$ をまとめます。

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \int \frac{\sin (3 x)}{3} d x)$

ステップ 7

$\frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} - (\frac{1}{3} \int \sin (3 x) d x))$

ステップ 8

$u = 3 x$ とします。次に $d u = 3 d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 8.1

$u = 3 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 8.1.1

$3 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 8.1.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 8.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cdot 1$

ステップ 8.1.4

$3$ に $1$ をかけます。

$3$

ステップ 8.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} \int \sin (u) \frac{1}{3} d u)$

ステップ 9

$\sin (u)$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{\sin (u)}{3} d u)$

ステップ 10

$\frac{1}{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \sin (u) d u))$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

$\frac{1}{3}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int \sin (u) d u)$

ステップ 11.2

$3$ に $3$ をかけます。

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} \int \sin (u) d u)$

ステップ 12

$\sin (u)$ の $u$ に関する積分は $- \cos (u)$ です。

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} (- \cos (u) + C))$

ステップ 13

簡約します。

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ステップ 13.1

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} (- \cos (u) + C))$ を $- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9}) + C$ に書き換えます。

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9}) + C$

ステップ 13.2

簡約します。

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ステップ 13.2.1

$\frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9})$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9}) \cdot \frac{3}{3} + C$

ステップ 13.2.2

$\frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9})$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{\frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9}) \cdot 3}{3} + C$

ステップ 13.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- x^{2} \cos (3 x) + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9}) \cdot 3}{3} + C$

ステップ 13.2.4

$3$ と $\frac{2}{3}$ をまとめます。

$\frac{- x^{2} \cos (3 x) + \frac{3 \cdot 2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9})}{3} + C$

ステップ 13.2.5

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{- x^{2} \cos (3 x) + \frac{6}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9})}{3} + C$

ステップ 13.2.6

$6$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 13.2.6.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{- x^{2} \cos (3 x) + \frac{3 \cdot 2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9})}{3} + C$

ステップ 13.2.6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 13.2.6.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{- x^{2} \cos (3 x) + \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9})}{3} + C$

ステップ 13.2.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{- x^{2} \cos (3 x) + \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9})}{3} + C$

ステップ 13.2.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- x^{2} \cos (3 x) + \frac{2}{1} (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9})}{3} + C$

ステップ 13.2.6.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$\frac{- x^{2} \cos (3 x) + 2 (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9})}{3} + C$

ステップ 14

$u$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$\frac{- x^{2} \cos (3 x) + 2 (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (3 x)}{9})}{3} + C$

ステップ 15

簡約します。

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ステップ 15.1

分子を簡約します。

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ステップ 15.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{- x^{2} \cos (3 x) + 2 \frac{x \sin (3 x)}{3} + 2 \frac{\cos (3 x)}{9}}{3} + C$

ステップ 15.1.2

$2$ と $\frac{x \sin (3 x)}{3}$ をまとめます。

$\frac{- x^{2} \cos (3 x) + \frac{2 (x \sin (3 x))}{3} + 2 \frac{\cos (3 x)}{9}}{3} + C$

ステップ 15.1.3

$2$ と $\frac{\cos (3 x)}{9}$ をまとめます。

$\frac{- x^{2} \cos (3 x) + \frac{2 (x \sin (3 x))}{3} + \frac{2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

ステップ 15.1.4

$- x^{2} \cos (3 x)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{9}{9}$ を掛けます。

$\frac{\frac{2 x \sin (3 x)}{3} - x^{2} \cos (3 x) \cdot \frac{9}{9} + \frac{2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

ステップ 15.1.5

$- x^{2} \cos (3 x)$ と $\frac{9}{9}$ をまとめます。

$\frac{\frac{2 x \sin (3 x)}{3} + \frac{- x^{2} \cos (3 x) \cdot 9}{9} + \frac{2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

ステップ 15.1.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{2 x \sin (3 x)}{3} + \frac{- x^{2} \cos (3 x) \cdot 9 + 2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

ステップ 15.1.7

$\frac{2 x \sin (3 x)}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{\frac{2 x \sin (3 x)}{3} \cdot \frac{3}{3} + \frac{- x^{2} \cos (3 x) \cdot 9 + 2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

ステップ 15.1.8

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $9$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 15.1.8.1

$\frac{2 x \sin (3 x)}{3}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{\frac{2 x \sin (3 x) \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{- x^{2} \cos (3 x) \cdot 9 + 2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

ステップ 15.1.8.2

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{\frac{2 x \sin (3 x) \cdot 3}{9} + \frac{- x^{2} \cos (3 x) \cdot 9 + 2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

ステップ 15.1.9

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{2 x \sin (3 x) \cdot 3 - x^{2} \cos (3 x) \cdot 9 + 2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

ステップ 15.1.10

因数分解した形で $\frac{2 x \sin (3 x) \cdot 3 - x^{2} \cos (3 x) \cdot 9 + 2 \cos (3 x)}{9}$ を書き換えます。

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ステップ 15.1.10.1

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{\frac{6 x \sin (3 x) - x^{2} \cos (3 x) \cdot 9 + 2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

ステップ 15.1.10.2

$9$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\frac{6 x \sin (3 x) - 9 x^{2} \cos (3 x) + 2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

ステップ 15.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{6 x \sin (3 x) - 9 x^{2} \cos (3 x) + 2 \cos (3 x)}{9} \cdot \frac{1}{3} + C$

ステップ 15.3

$\frac{6 x \sin (3 x) - 9 x^{2} \cos (3 x) + 2 \cos (3 x)}{9} \cdot \frac{1}{3}$ を掛けます。

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ステップ 15.3.1

$\frac{6 x \sin (3 x) - 9 x^{2} \cos (3 x) + 2 \cos (3 x)}{9}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$\frac{6 x \sin (3 x) - 9 x^{2} \cos (3 x) + 2 \cos (3 x)}{9 \cdot 3} + C$

ステップ 15.3.2

$9$ に $3$ をかけます。

$\frac{6 x \sin (3 x) - 9 x^{2} \cos (3 x) + 2 \cos (3 x)}{27} + C$

ステップ 15.4

項を並べ替えます。

$\frac{1}{27} (6 x \sin (3 x) - 9 x^{2} \cos (3 x) + 2 \cos (3 x)) + C$

微分積分 例

微分積分例