微分積分例

$\int x^{2} e^{5 x} d x$

ステップ 1

$u = x^{2}$ と $d v = e^{5 x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$x^{2} (\frac{1}{5} e^{5 x}) - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (2 x) d x$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{5}$ と $e^{5 x}$ をまとめます。

$x^{2} \frac{e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (2 x) d x$

ステップ 2.2

$x^{2}$ と $\frac{e^{5 x}}{5}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (2 x) d x$

ステップ 3

$\frac{1}{5} \cdot 2$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{5} \cdot 2$ を積分の外に移動させます。

$\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 2 \int e^{5 x} (x) d x)$

ステップ 4

$\frac{1}{5}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} \int e^{5 x} (x) d x$

ステップ 5

$u = x$ と $d v = e^{5 x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (x (\frac{1}{5} e^{5 x}) - \int \frac{1}{5} e^{5 x} d x)$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$\frac{1}{5}$ と $e^{5 x}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (x \frac{e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} d x)$

ステップ 6.2

$x$ と $\frac{e^{5 x}}{5}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} d x)$

ステップ 6.3

$\frac{1}{5}$ と $e^{5 x}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \int \frac{e^{5 x}}{5} d x)$

ステップ 7

$\frac{1}{5}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{5}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - (\frac{1}{5} \int e^{5 x} d x))$

ステップ 8

$u = 5 x$ とします。次に $d u = 5 d x$ すると、 $\frac{1}{5} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 8.1

$u = 5 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 8.1.1

$5 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [5 x]$

ステップ 8.1.2

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 8.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 \cdot 1$

ステップ 8.1.4

$5$ に $1$ をかけます。

$5$

ステップ 8.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5} \int e^{u} \frac{1}{5} d u)$

ステップ 9

$e^{u}$ と $\frac{1}{5}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5} \int \frac{e^{u}}{5} d u)$

ステップ 10

$\frac{1}{5}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{5}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5} (\frac{1}{5} \int e^{u} d u))$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

$\frac{1}{5}$ に $\frac{1}{5}$ をかけます。

$\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5 \cdot 5} \int e^{u} d u)$

ステップ 11.2

$5$ に $5$ をかけます。

$\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{25} \int e^{u} d u)$

ステップ 12

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{25} (e^{u} + C))$

ステップ 13

簡約します。

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ステップ 13.1

$\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{25} (e^{u} + C))$ を $\frac{1}{5} x^{2} e^{5 x} - \frac{2}{5} (\frac{1}{5} x e^{5 x} - \frac{1}{25} e^{u}) + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{5} x^{2} e^{5 x} - \frac{2}{5} (\frac{1}{5} x e^{5 x} - \frac{1}{25} e^{u}) + C$

ステップ 13.2

簡約します。

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ステップ 13.2.1

$\frac{1}{5}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{x^{2}}{5} e^{5 x} - \frac{2}{5} (\frac{1}{5} x e^{5 x} - \frac{1}{25} e^{u}) + C$

ステップ 13.2.2

$\frac{x^{2}}{5}$ と $e^{5 x}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{1}{5} x e^{5 x} - \frac{1}{25} e^{u}) + C$

ステップ 13.2.3

$\frac{1}{5}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x}{5} e^{5 x} - \frac{1}{25} e^{u}) + C$

ステップ 13.2.4

$\frac{x}{5}$ と $e^{5 x}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{25} e^{u}) + C$

ステップ 13.2.5

$e^{u}$ と $\frac{1}{25}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{e^{u}}{25}) + C$

ステップ 13.2.6

$- \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{e^{u}}{25})$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{e^{u}}{25}) \cdot \frac{5}{5} + C$

ステップ 13.2.7

$- \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{e^{u}}{25})$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} + \frac{- \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{e^{u}}{25}) \cdot 5}{5} + C$

ステップ 13.2.8

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x^{2} e^{5 x} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{e^{u}}{25}) \cdot 5}{5} + C$

ステップ 13.2.9

$5$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x^{2} e^{5 x} - 5 (\frac{2}{5}) (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{e^{u}}{25})}{5} + C$

ステップ 13.2.10

$- 5$ と $\frac{2}{5}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} e^{5 x} + \frac{- 5 \cdot 2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{e^{u}}{25})}{5} + C$

ステップ 13.2.11

$- 5$ に $2$ をかけます。

$\frac{x^{2} e^{5 x} + \frac{- 10}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{e^{u}}{25})}{5} + C$

ステップ 13.2.12

$- 10$ と $5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 13.2.12.1

$5$ を $- 10$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} e^{5 x} + \frac{5 \cdot - 2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{e^{u}}{25})}{5} + C$

ステップ 13.2.12.2

共通因数を約分します。

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ステップ 13.2.12.2.1

$5$ を $5$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} e^{5 x} + \frac{5 \cdot - 2}{5 (1)} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{e^{u}}{25})}{5} + C$

ステップ 13.2.12.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2} e^{5 x} + \frac{5 \cdot - 2}{5 \cdot 1} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{e^{u}}{25})}{5} + C$

ステップ 13.2.12.2.3

式を書き換えます。

$\frac{x^{2} e^{5 x} + \frac{- 2}{1} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{e^{u}}{25})}{5} + C$

ステップ 13.2.12.2.4

$- 2$ を $1$ で割ります。

$\frac{x^{2} e^{5 x} - 2 (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{e^{u}}{25})}{5} + C$

ステップ 14

$u$ のすべての発生を $5 x$ で置き換えます。

$\frac{x^{2} e^{5 x} - 2 (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{e^{5 x}}{25})}{5} + C$

ステップ 15

項を並べ替えます。

$\frac{1}{5} (x^{2} e^{5 x} - 2 (\frac{1}{5} x e^{5 x} - \frac{1}{25} e^{5 x})) + C$

微分積分 例

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