微分積分例

$\int e^{3 x} \cos (2 x) d x$

ステップ 1

$e^{3 x}$ と $\cos (2 x)$ を並べ替えます。

$\int \cos (2 x) e^{3 x} d x$

ステップ 2

$u = \cos (2 x)$ と $d v = e^{3 x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\cos (2 x) (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} (- 2 \sin (2 x)) d x$

ステップ 3

$\frac{1}{3} \cdot - 2$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3} \cdot - 2$ を積分の外に移動させます。

$\cos (2 x) (\frac{1}{3} e^{3 x}) - (\frac{1}{3} \cdot - 2 \int e^{3 x} (\sin (2 x)) d x)$

ステップ 4

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$\frac{1}{3}$ と $e^{3 x}$ をまとめます。

$\cos (2 x) \frac{e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \cdot - 2 \int e^{3 x} (\sin (2 x)) d x)$

ステップ 4.2

$\cos (2 x)$ と $\frac{e^{3 x}}{3}$ をまとめます。

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \cdot - 2 \int e^{3 x} (\sin (2 x)) d x)$

ステップ 4.3

$\frac{1}{3}$ と $- 2$ をまとめます。

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - (\frac{- 2}{3} \int e^{3 x} (\sin (2 x)) d x)$

ステップ 4.4

$e^{3 x}$ と $\sin (2 x)$ を並べ替えます。

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - (\frac{- 2}{3} \int \sin (2 x) e^{3 x} d x)$

ステップ 5

$u = \sin (2 x)$ と $d v = e^{3 x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - (\frac{- 2}{3} (\sin (2 x) (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} (2 \cos (2 x)) d x))$

ステップ 6

$\frac{1}{3} \cdot 2$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3} \cdot 2$ を積分の外に移動させます。

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - (\frac{- 2}{3} (\sin (2 x) (\frac{1}{3} e^{3 x}) - (\frac{1}{3} \cdot 2 \int e^{3 x} (\cos (2 x)) d x)))$

ステップ 7

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$\frac{1}{3}$ と $e^{3 x}$ をまとめます。

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - (\frac{- 2}{3} (\sin (2 x) \frac{e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 2 \int e^{3 x} (\cos (2 x)) d x)))$

ステップ 7.2

$\sin (2 x)$ と $\frac{e^{3 x}}{3}$ をまとめます。

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - (\frac{- 2}{3} (\frac{\sin (2 x) e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 2 \int e^{3 x} (\cos (2 x)) d x)))$

ステップ 7.3

$\frac{1}{3}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - (\frac{- 2}{3} (\frac{\sin (2 x) e^{3 x}}{3} - (\frac{2}{3} \int e^{3 x} (\cos (2 x)) d x)))$

ステップ 7.4

分配則を当てはめます。

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - \frac{- 2}{3} \cdot \frac{\sin (2 x) e^{3 x}}{3} - \frac{- 2}{3} (- (\frac{2}{3} \int e^{3 x} (\cos (2 x)) d x))$

ステップ 7.5

$\frac{\sin (2 x) e^{3 x}}{3}$ に $\frac{- 2}{3}$ をかけます。

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - \frac{\sin (2 x) e^{3 x} \cdot - 2}{3 \cdot 3} - \frac{- 2}{3} (- (\frac{2}{3} \int e^{3 x} (\cos (2 x)) d x))$

ステップ 7.6

掛け算します。

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ステップ 7.6.1

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - \frac{\sin (2 x) e^{3 x} \cdot - 2}{9} - \frac{- 2}{3} (- (\frac{2}{3} \int e^{3 x} (\cos (2 x)) d x))$

ステップ 7.6.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - \frac{\sin (2 x) e^{3 x} \cdot - 2}{9} + 1 (\frac{- 2}{3}) (\frac{2}{3} \int e^{3 x} (\cos (2 x)) d x)$

ステップ 7.6.3

$\frac{- 2}{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - \frac{\sin (2 x) e^{3 x} \cdot - 2}{9} + \frac{- 2}{3} (\frac{2}{3} \int e^{3 x} (\cos (2 x)) d x)$

ステップ 7.7

$\frac{2}{3}$ に $\frac{- 2}{3}$ をかけます。

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - \frac{\sin (2 x) e^{3 x} \cdot - 2}{9} + \frac{2 \cdot - 2}{3 \cdot 3} \int e^{3 x} (\cos (2 x)) d x$

ステップ 7.8

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.8.1

$2$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - \frac{\sin (2 x) e^{3 x} \cdot - 2}{9} + \frac{- 4}{3 \cdot 3} \int e^{3 x} (\cos (2 x)) d x$

ステップ 7.8.2

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - \frac{\sin (2 x) e^{3 x} \cdot - 2}{9} + \frac{- 4}{9} \int e^{3 x} (\cos (2 x)) d x$

ステップ 8

$\int e^{3 x} \cos (2 x) d x$ を解くと、 $\int e^{3 x} \cos (2 x) d x$ = $\frac{\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - \frac{\sin (2 x) e^{3 x} \cdot - 2}{9}}{\frac{13}{9}}$ であることが分かります。

$\frac{\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - \frac{\sin (2 x) e^{3 x} \cdot - 2}{9}}{\frac{13}{9}} + C$

ステップ 9

答えを簡約します。

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ステップ 9.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$- 2$ を $\sin (2 x) e^{3 x}$ の左に移動させます。

$\frac{\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - \frac{- 2 \cdot (\sin (2 x) e^{3 x})}{9}}{\frac{13}{9}} + C$

ステップ 9.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - - \frac{2 \sin (2 x) e^{3 x}}{9}}{\frac{13}{9}} + C$

ステップ 9.1.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} + 1 \frac{2 \sin (2 x) e^{3 x}}{9}}{\frac{13}{9}} + C$

ステップ 9.1.4

$\frac{2 \sin (2 x) e^{3 x}}{9}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} + \frac{2 \sin (2 x) e^{3 x}}{9}}{\frac{13}{9}} + C$

ステップ 9.1.5

分数の逆数を掛け、 $\frac{13}{9}$ で割ります。

$(\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} + \frac{2 \sin (2 x) e^{3 x}}{9}) \frac{9}{13} + C$

ステップ 9.2

$(\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} + \frac{2 \sin (2 x) e^{3 x}}{9}) \frac{9}{13} + C$ を $(\frac{1}{3} \cos (2 x) e^{3 x} + \frac{2}{9} \sin (2 x) e^{3 x}) \frac{9}{13} + C$ に書き換えます。

$(\frac{1}{3} \cos (2 x) e^{3 x} + \frac{2}{9} \sin (2 x) e^{3 x}) \frac{9}{13} + C$

微分積分 例

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