微分積分例

$\int e^{- x} \cos (2 x) d x$

ステップ 1

$e^{- x}$ と $\cos (2 x)$ を並べ替えます。

$\int \cos (2 x) e^{- x} d x$

ステップ 2

$u = \cos (2 x)$ と $d v = e^{- x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (- 2 \sin (2 x)) d x$

ステップ 3

$- - 2$ は $x$ に対して定数なので、 $- - 2$ を積分の外に移動させます。

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - (- - 2 \int e^{- x} (\sin (2 x)) d x)$

ステップ 4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - (2 \int e^{- x} (\sin (2 x)) d x)$

ステップ 4.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - 2 \int e^{- x} (\sin (2 x)) d x$

ステップ 4.3

$e^{- x}$ と $\sin (2 x)$ を並べ替えます。

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - 2 \int \sin (2 x) e^{- x} d x$

ステップ 5

$u = \sin (2 x)$ と $d v = e^{- x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - 2 (\sin (2 x) (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (2 \cos (2 x)) d x)$

ステップ 6

$- 1 \cdot 2$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1 \cdot 2$ を積分の外に移動させます。

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - 2 (\sin (2 x) (- e^{- x}) - (- 1 \cdot 2 \int e^{- x} (\cos (2 x)) d x))$

ステップ 7

両辺を掛けて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - 2 (\sin (2 x) (- e^{- x}) - (- 2 \int e^{- x} (\cos (2 x)) d x))$

ステップ 7.2

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - 2 (\sin (2 x) (- e^{- x}) + 2 \int e^{- x} (\cos (2 x)) d x)$

ステップ 7.3

分配則を当てはめます。

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - 2 (\sin (2 x) (- e^{- x})) - 2 (2 \int e^{- x} (\cos (2 x)) d x)$

ステップ 7.4

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.1

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$\cos (2 x) (- e^{- x}) + 2 (\sin (2 x) (e^{- x})) - 2 (2 \int e^{- x} (\cos (2 x)) d x)$

ステップ 7.4.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$\cos (2 x) (- e^{- x}) + 2 (\sin (2 x) (e^{- x})) - 4 \int e^{- x} (\cos (2 x)) d x$

ステップ 8

$\int e^{- x} \cos (2 x) d x$ を解くと、 $\int e^{- x} \cos (2 x) d x$ = $\frac{\cos (2 x) (- e^{- x}) + 2 (\sin (2 x) (e^{- x}))}{5}$ であることが分かります。

$\frac{\cos (2 x) (- e^{- x}) + 2 (\sin (2 x) (e^{- x}))}{5} + C$

ステップ 9

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$\frac{\cos (2 x) (- e^{- x}) + 2 \sin (2 x) e^{- x}}{5} + C$ を $\frac{- \cos (2 x) e^{- x} + 2 \sin (2 x) e^{- x}}{5} + C$ に書き換えます。

$\frac{- \cos (2 x) e^{- x} + 2 \sin (2 x) e^{- x}}{5} + C$

ステップ 9.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

$e^{- x}$ を $- \cos (2 x) e^{- x} + 2 \sin (2 x) e^{- x}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1.1

$e^{- x}$ を $- \cos (2 x) e^{- x}$ で因数分解します。

$\frac{e^{- x} (- \cos (2 x)) + 2 \sin (2 x) e^{- x}}{5} + C$

ステップ 9.2.1.2

$e^{- x}$ を $2 \sin (2 x) e^{- x}$ で因数分解します。

$\frac{e^{- x} (- \cos (2 x)) + e^{- x} (2 \sin (2 x))}{5} + C$

ステップ 9.2.1.3

$e^{- x}$ を $e^{- x} (- \cos (2 x)) + e^{- x} (2 \sin (2 x))$ で因数分解します。

$\frac{e^{- x} (- \cos (2 x) + 2 \sin (2 x))}{5} + C$

ステップ 9.2.2

$- 1$ を $- \cos (2 x)$ で因数分解します。

$\frac{e^{- x} (- (\cos (2 x)) + 2 \sin (2 x))}{5} + C$

ステップ 9.2.3

$- 1$ を $2 \sin (2 x)$ で因数分解します。

$\frac{e^{- x} (- (\cos (2 x)) - (- 2 \sin (2 x)))}{5} + C$

ステップ 9.2.4

$- 1$ を $- (\cos (2 x)) - (- 2 \sin (2 x))$ で因数分解します。

$\frac{e^{- x} (- (\cos (2 x) - 2 \sin (2 x)))}{5} + C$

ステップ 9.2.5

$- (\cos (2 x) - 2 \sin (2 x))$ を $- 1 (\cos (2 x) - 2 \sin (2 x))$ に書き換えます。

$\frac{e^{- x} (- 1 (\cos (2 x) - 2 \sin (2 x)))}{5} + C$

ステップ 9.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{5} e^{- x} (\cos (2 x) - 2 \sin (2 x)) + C$

微分積分 例

微分積分例