微分積分例

$\int \sin^{2} (3 x) d x$

ステップ 1

$u_{1} = 3 x$ とします。次に $d u_{1} = 3 d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u_{1} = 3 x$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$3 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 1.1.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cdot 1$

ステップ 1.1.4

$3$ に $1$ をかけます。

$3$

ステップ 1.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \sin^{2} (u_{1}) \frac{1}{3} d u_{1}$

ステップ 2

$\sin^{2} (u_{1})$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\int \frac{\sin^{2} (u_{1})}{3} d u_{1}$

ステップ 3

$\frac{1}{3}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 4

半角公式を利用して $\sin^{2} (u_{1})$ を $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{3} \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

ステップ 5

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$\frac{1}{2 \cdot 3} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

ステップ 6.2

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{6} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

ステップ 7

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{6} (\int d u_{1} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

ステップ 8

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{6} (u_{1} + C + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

ステップ 9

$- 1$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{6} (u_{1} + C - \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

ステップ 10

$u_{2} = 2 u_{1}$ とします。次に $d u_{2} = 2 d u_{1}$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 10.1

$u_{2} = 2 u_{1}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

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ステップ 10.1.1

$2 u_{1}$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

ステップ 10.1.2

$2$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $u_{1}$ に対する $2 u_{1}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ です。

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

ステップ 10.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 10.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 10.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{6} (u_{1} + C - \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

ステップ 11

$\cos (u_{2})$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{6} (u_{1} + C - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

ステップ 12

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{6} (u_{1} + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

ステップ 13

$\cos (u_{2})$ の $u_{2}$ に関する積分は $\sin (u_{2})$ です。

$\frac{1}{6} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

ステップ 14

簡約します。

$\frac{1}{6} (u_{1} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

ステップ 15

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 15.1

$u_{1}$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{6} (3 x - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

ステップ 15.2

$u_{2}$ のすべての発生を $2 u_{1}$ で置き換えます。

$\frac{1}{6} (3 x - \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C$

ステップ 15.3

$u_{1}$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{6} (3 x - \frac{1}{2} \sin (2 (3 x))) + C$

ステップ 16

簡約します。

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ステップ 16.1

各項を簡約します。

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ステップ 16.1.1

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{6} (3 x - \frac{1}{2} \sin (6 x)) + C$

ステップ 16.1.2

$\sin (6 x)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{6} (3 x - \frac{\sin (6 x)}{2}) + C$

ステップ 16.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{6} (3 x) + \frac{1}{6} (- \frac{\sin (6 x)}{2}) + C$

ステップ 16.3

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 16.3.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{1}{3 (2)} (3 x) + \frac{1}{6} (- \frac{\sin (6 x)}{2}) + C$

ステップ 16.3.2

$3$ を $3 x$ で因数分解します。

$\frac{1}{3 (2)} (3 (x)) + \frac{1}{6} (- \frac{\sin (6 x)}{2}) + C$

ステップ 16.3.3

共通因数を約分します。

$\frac{1}{3 \cdot 2} (3 x) + \frac{1}{6} (- \frac{\sin (6 x)}{2}) + C$

ステップ 16.3.4

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{6} (- \frac{\sin (6 x)}{2}) + C$

ステップ 16.4

$\frac{1}{2}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{x}{2} + \frac{1}{6} (- \frac{\sin (6 x)}{2}) + C$

ステップ 16.5

$\frac{1}{6} (- \frac{\sin (6 x)}{2})$ を掛けます。

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ステップ 16.5.1

$\frac{1}{6}$ に $\frac{\sin (6 x)}{2}$ をかけます。

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (6 x)}{6 \cdot 2} + C$

ステップ 16.5.2

$6$ に $2$ をかけます。

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (6 x)}{12} + C$

ステップ 17

項を並べ替えます。

$\frac{1}{2} x - \frac{1}{12} \sin (6 x) + C$

微分積分 例

微分積分例