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微分積分 例
ステップ 1
である時にとします。次に。なので、は正であることに注意します。
ステップ 2
ステップ 2.1
を簡約します。
ステップ 2.1.1
各項を簡約します。
ステップ 2.1.1.1
積の法則をに当てはめます。
ステップ 2.1.1.2
を乗します。
ステップ 2.1.2
をで因数分解します。
ステップ 2.1.3
をで因数分解します。
ステップ 2.1.4
をで因数分解します。
ステップ 2.1.5
ピタゴラスの定理を当てはめます。
ステップ 2.1.6
をに書き換えます。
ステップ 2.1.7
正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。
ステップ 2.2
の共通因数を約分します。
ステップ 2.2.1
をで因数分解します。
ステップ 2.2.2
共通因数を約分します。
ステップ 2.2.3
式を書き換えます。
ステップ 3
を乗します。
ステップ 4
を乗します。
ステップ 5
べき乗則を利用して指数を組み合わせます。
ステップ 6
とをたし算します。
ステップ 7
はに対して定数なので、を積分の外に移動させます。
ステップ 8
ピタゴラスの恒等式を利用して、をに書き換えます。
ステップ 9
単一積分を複数積分に分割します。
ステップ 10
定数の法則を当てはめます。
ステップ 11
の微分係数がなので、の積分はです。
ステップ 12
簡約します。
ステップ 13
のすべての発生をで置き換えます。
ステップ 14
ステップ 14.1
各項を簡約します。
ステップ 14.1.1
交点、と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、は正のx軸と、原点から始まってを通る半直線の間の角です。したがって、はです。
ステップ 14.1.2
をに書き換えます。
ステップ 14.1.3
両項とも完全平方なので、平方の差の公式を利用して、因数分解します。このとき、であり、です。
ステップ 14.1.4
を公分母をもつ分数で書きます。
ステップ 14.1.5
公分母の分子をまとめます。
ステップ 14.1.6
を公分母のある分数として書くために、を掛けます。
ステップ 14.1.7
とをまとめます。
ステップ 14.1.8
公分母の分子をまとめます。
ステップ 14.1.9
にをかけます。
ステップ 14.1.10
にをかけます。
ステップ 14.1.11
にをかけます。
ステップ 14.1.12
をに書き換えます。
ステップ 14.1.12.1
から完全累乗を因数分解します。
ステップ 14.1.12.2
から完全累乗を因数分解します。
ステップ 14.1.12.3
分数を並べ替えます。
ステップ 14.1.13
累乗根の下から項を取り出します。
ステップ 14.1.14
とをまとめます。
ステップ 14.2
を公分母のある分数として書くために、を掛けます。
ステップ 14.3
とをまとめます。
ステップ 14.4
公分母の分子をまとめます。
ステップ 14.5
の共通因数を約分します。
ステップ 14.5.1
共通因数を約分します。
ステップ 14.5.2
式を書き換えます。
ステップ 14.6
にをかけます。
ステップ 15
項を並べ替えます。