微分積分例

$\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 9}} d x$

ステップ 1

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $x = 3 \sec (t)$ とします。次に $d x = 3 \sec (t) \tan (t) d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $3 \sec (t) \tan (t)$ は正であることに注意します。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(3 \sec (t))}^{2} - 9}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 2

項を簡約します。

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ステップ 2.1

$\sqrt{{(3 \sec (t))}^{2} - 9}$ を簡約します。

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ステップ 2.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.1.1

積の法則を $3 \sec (t)$ に当てはめます。

$\int \frac{1}{\sqrt{3^{2} \sec^{2} (t) - 9}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 2.1.1.2

$3$ を $2$ 乗します。

$\int \frac{1}{\sqrt{9 \sec^{2} (t) - 9}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 2.1.2

$9$ を $9 \sec^{2} (t)$ で因数分解します。

$\int \frac{1}{\sqrt{9 (\sec^{2} (t)) - 9}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 2.1.3

$9$ を $- 9$ で因数分解します。

$\int \frac{1}{\sqrt{9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 2.1.4

$9$ を $9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1$ で因数分解します。

$\int \frac{1}{\sqrt{9 (\sec^{2} (t) - 1)}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 2.1.5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\int \frac{1}{\sqrt{9 \tan^{2} (t)}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 2.1.6

$9 \tan^{2} (t)$ を ${(3 \tan (t))}^{2}$ に書き換えます。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(3 \tan (t))}^{2}}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 2.1.7

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\int \frac{1}{3 \tan (t)} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 2.2

$3 \tan (t)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1

$3 \tan (t)$ を $3 \sec (t) \tan (t)$ で因数分解します。

$\int \frac{1}{3 \tan (t)} (3 \tan (t) (\sec (t))) d t$

ステップ 2.2.2

共通因数を約分します。

$\int \frac{1}{3 \tan (t)} (3 \tan (t) \sec (t)) d t$

ステップ 2.2.3

式を書き換えます。

$\int \sec (t) d t$

ステップ 3

$\sec (t)$ の $t$ に関する積分は $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ です。

$\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$

ステップ 4

$t$ のすべての発生を $arcsec (\frac{x}{3})$ で置き換えます。

$\ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{3})) + \tan (arcsec (\frac{x}{3})) |) + C$

ステップ 5

項を並べ替えます。

$\ln (| \sec (arcsec (\frac{1}{3} x)) + \tan (arcsec (\frac{1}{3} x)) |) + C$

微分積分 例

微分積分例