微分積分例

$y = \tan (x)$

ステップ 1

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$f' (x) = \sec^{2} (x)$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sec (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\sec (x)$ とします。

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\sec (x))$

ステップ 2.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 u \frac{d}{d x} (\sec (x))$

ステップ 2.1.3

$u$ のすべての発生を $\sec (x)$ で置き換えます。

$f'' (x) = 2 \sec (x) \frac{d}{d x} (\sec (x))$

ステップ 2.2

$x$ に関する $\sec (x)$ の微分係数は $\sec (x) \tan (x)$ です。

$f'' (x) = 2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x))$

ステップ 2.3

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = 2 (\sec (x) \sec (x)) \tan (x)$

ステップ 2.4

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = 2 (\sec (x) \sec (x)) \tan (x)$

ステップ 2.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = 2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x)$

ステップ 2.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

ステップ 3

三次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 \sec^{2} (x) \tan (x)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]$ です。

$f''' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\sec^{2} (x) \tan (x))$

ステップ 3.2

$f (x) = \sec^{2} (x)$ および $g (x) = \tan (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f''' (x) = 2 (\sec^{2} (x) \frac{d}{d x} (\tan (x)) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec^{2} (x)))$

ステップ 3.3

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$f''' (x) = 2 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec^{2} (x)))$

ステップ 3.4

指数を足して $\sec^{2} (x)$ に $\sec^{2} (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f''' (x) = 2 ({\sec (x)}^{2 + 2} + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec^{2} (x)))$

ステップ 3.4.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$f''' (x) = 2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec^{2} (x)))$

ステップ 3.5

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sec (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\sec (x)$ とします。

$f''' (x) = 2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\sec (x))))$

ステップ 3.5.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f''' (x) = 2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (2 u \frac{d}{d x} (\sec (x))))$

ステップ 3.5.3

$u$ のすべての発生を $\sec (x)$ で置き換えます。

$f''' (x) = 2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (2 \sec (x) \frac{d}{d x} (\sec (x))))$

ステップ 3.6

$2$ を $\tan (x)$ の左に移動させます。

$f''' (x) = 2 (\sec^{4} (x) + 2 \cdot (\tan (x) \sec (x)) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

ステップ 3.7

$x$ に関する $\sec (x)$ の微分係数は $\sec (x) \tan (x)$ です。

$f''' (x) = 2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan (x) \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))$

ステップ 3.8

$\tan (x)$ を $1$ 乗します。

$f''' (x) = 2 (\sec^{4} (x) + 2 (\tan (x) \tan (x)) \sec (x) \sec (x))$

ステップ 3.9

$\tan (x)$ を $1$ 乗します。

$f''' (x) = 2 (\sec^{4} (x) + 2 (\tan (x) \tan (x)) \sec (x) \sec (x))$

ステップ 3.10

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f''' (x) = 2 (\sec^{4} (x) + 2 {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x) \sec (x))$

ステップ 3.11

$1$ と $1$ をたし算します。

$f''' (x) = 2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) \sec (x) \sec (x))$

ステップ 3.12

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$f''' (x) = 2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) (\sec (x) \sec (x)))$

ステップ 3.13

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$f''' (x) = 2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) (\sec (x) \sec (x)))$

ステップ 3.14

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f''' (x) = 2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) {\sec (x)}^{1 + 1})$

ステップ 3.15

$1$ と $1$ をたし算します。

$f''' (x) = 2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x))$

ステップ 3.16

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.16.1

分配則を当てはめます。

$f''' (x) = 2 \sec^{4} (x) + 2 (2 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x))$

ステップ 3.16.2

$2$ に $2$ をかけます。

$f''' (x) = 2 \sec^{4} (x) + 4 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)$

ステップ 3.16.3

項を並べ替えます。

$f''' (x) = 4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 2 \sec^{4} (x)$

ステップ 4

四次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

総和則では、 $4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 2 \sec^{4} (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$ です。

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

ステップ 4.2

$\frac{d}{d x} [4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan^{2} (x)]$ です。

$f^{4} (x) = 4 \frac{d}{d x} (\sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

ステップ 4.2.2

$f (x) = \sec^{2} (x)$ および $g (x) = \tan^{2} (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f^{4} (x) = 4 (\sec^{2} (x) \frac{d}{d x} (\tan^{2} (x)) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} (\sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

ステップ 4.2.3

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \tan (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\tan (x)$ とします。

$f^{4} (x) = 4 (\sec^{2} (x) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (\tan (x))) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} (\sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

ステップ 4.2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f^{4} (x) = 4 (\sec^{2} (x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} (\tan (x))) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} (\sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

ステップ 4.2.3.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\tan (x)$ で置き換えます。

$f^{4} (x) = 4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \frac{d}{d x} (\tan (x))) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} (\sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

ステップ 4.2.4

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$f^{4} (x) = 4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} (\sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

ステップ 4.2.5

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sec (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\sec (x)$ とします。

$f^{4} (x) = 4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d x} (\sec (x)))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

ステップ 4.2.5.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f^{4} (x) = 4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} (\sec (x)))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

ステップ 4.2.5.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\sec (x)$ で置き換えます。

$f^{4} (x) = 4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) \frac{d}{d x} (\sec (x)))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

ステップ 4.2.6

$x$ に関する $\sec (x)$ の微分係数は $\sec (x) \tan (x)$ です。

$f^{4} (x) = 4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

ステップ 4.2.7

指数を足して $\sec^{2} (x)$ に $\sec^{2} (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.7.1

$\sec^{2} (x)$ を移動させます。

$f^{4} (x) = 4 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) (2 \tan (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

ステップ 4.2.7.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f^{4} (x) = 4 ({\sec (x)}^{2 + 2} (2 \tan (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

ステップ 4.2.7.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$f^{4} (x) = 4 (\sec^{4} (x) (2 \tan (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

ステップ 4.2.8

$2$ を $\sec^{4} (x)$ の左に移動させます。

$f^{4} (x) = 4 (2 \cdot (\sec^{4} (x) \tan (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

ステップ 4.2.9

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 (\sec (x) \sec (x)) \tan (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

ステップ 4.2.10

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 (\sec (x) \sec (x)) \tan (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

ステップ 4.2.11

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

ステップ 4.2.12

$1$ と $1$ をたし算します。

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 \sec^{2} (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

ステップ 4.2.13

指数を足して $\tan^{2} (x)$ に $\tan (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.13.1

$\tan (x)$ を移動させます。

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan (x) \tan^{2} (x) (2 \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

ステップ 4.2.13.2

$\tan (x)$ に $\tan^{2} (x)$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.13.2.1

$\tan (x)$ を $1$ 乗します。

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan (x) \tan^{2} (x) (2 \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

ステップ 4.2.13.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + {\tan (x)}^{1 + 2} (2 \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

ステップ 4.2.13.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{3} (x) (2 \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

ステップ 4.2.14

$2$ を $\tan^{3} (x)$ の左に移動させます。

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

ステップ 4.3

$\frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 \sec^{4} (x)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)]$ です。

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 \frac{d}{d x} (\sec^{4} (x))$

ステップ 4.3.2

$f (x) = x^{4}$ および $g (x) = \sec (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{3}$ を $\sec (x)$ とします。

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (\frac{d}{d u (3)} ({u_{3}}^{4}) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

ステップ 4.3.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ は $n {u_{3}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 {u_{3}}^{3} \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

ステップ 4.3.2.3

$u_{3}$ のすべての発生を $\sec (x)$ で置き換えます。

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

ステップ 4.3.3

$x$ に関する $\sec (x)$ の微分係数は $\sec (x) \tan (x)$ です。

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 \sec^{3} (x) (\sec (x) \tan (x)))$

ステップ 4.3.4

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 (\sec (x) \sec^{3} (x)) \tan (x))$

ステップ 4.3.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 {\sec (x)}^{1 + 3} \tan (x))$

ステップ 4.3.6

$1$ と $3$ をたし算します。

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 \sec^{4} (x) \tan (x))$

ステップ 4.3.7

$4$ に $2$ をかけます。

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 8 \sec^{4} (x) \tan (x)$

ステップ 4.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

分配則を当てはめます。

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x)) + 4 (2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 8 \sec^{4} (x) \tan (x)$

ステップ 4.4.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.1

$2$ に $4$ をかけます。

$f^{4} (x) = 8 (\sec^{4} (x) \tan (x)) + 4 (2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 8 \sec^{4} (x) \tan (x)$

ステップ 4.4.2.2

$2$ に $4$ をかけます。

$f^{4} (x) = 8 \sec^{4} (x) \tan (x) + 8 (\tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 8 \sec^{4} (x) \tan (x)$

ステップ 4.4.2.3

$8 \sec^{4} (x) \tan (x)$ と $8 \sec^{4} (x) \tan (x)$ をたし算します。

$f^{4} (x) = 16 \sec^{4} (x) \tan (x) + 8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)$

微分積分 例

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