微分積分例

$\int \frac{1}{\sqrt{x^{3}}} + 5 e^{5 x} d x$

ステップ 1

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{1}{\sqrt{x^{3}}} d x + \int 5 e^{5 x} d x$

ステップ 2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x^{3}}$ を $x^{\frac{3}{2}}$ に書き換えます。

$\int \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} d x + \int 5 e^{5 x} d x$

ステップ 2.2

$x^{\frac{3}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d x + \int 5 e^{5 x} d x$

ステップ 2.3

${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int x^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d x + \int 5 e^{5 x} d x$

ステップ 2.3.2

$\frac{3}{2} \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 2.3.2.1

$\frac{3}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\int x^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d x + \int 5 e^{5 x} d x$

ステップ 2.3.2.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\int x^{\frac{- 3}{2}} d x + \int 5 e^{5 x} d x$

ステップ 2.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\int x^{- \frac{3}{2}} d x + \int 5 e^{5 x} d x$

ステップ 3

べき乗則では、 $x^{- \frac{3}{2}}$ の $x$ に関する積分は $- 2 x^{- \frac{1}{2}}$ です。

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + \int 5 e^{5 x} d x$

ステップ 4

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + 5 \int e^{5 x} d x$

ステップ 5

$u = 5 x$ とします。次に $d u = 5 d x$ すると、 $\frac{1}{5} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.1

$u = 5 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 5.1.1

$5 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [5 x]$

ステップ 5.1.2

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 \cdot 1$

ステップ 5.1.4

$5$ に $1$ をかけます。

$5$

ステップ 5.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + 5 \int e^{u} \frac{1}{5} d u$

ステップ 6

$e^{u}$ と $\frac{1}{5}$ をまとめます。

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + 5 \int \frac{e^{u}}{5} d u$

ステップ 7

$\frac{1}{5}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{5}$ を積分の外に移動させます。

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + 5 (\frac{1}{5} \int e^{u} d u)$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

$\frac{1}{5}$ と $5$ をまとめます。

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + \frac{5}{5} \int e^{u} d u$

ステップ 8.2

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.1

共通因数を約分します。

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + \frac{5}{5} \int e^{u} d u$

ステップ 8.2.2

式を書き換えます。

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + 1 \int e^{u} d u$

ステップ 8.3

$\int e^{u} d u$ に $1$ をかけます。

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + \int e^{u} d u$

ステップ 9

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + e^{u} + C$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

簡約します。

$- 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + e^{u} + C$

ステップ 10.2

簡約します。

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ステップ 10.2.1

$- 2$ と $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} + e^{u} + C$

ステップ 10.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + e^{u} + C$

ステップ 11

$u$ のすべての発生を $5 x$ で置き換えます。

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + e^{5 x} + C$

微分積分 例

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