微分積分例

$\int (\sqrt{t^{6} + 5 t}) (6 t^{5} + 5) d t$

ステップ 1

$u = t^{6} + 5 t$ とします。次に $d u = (6 t^{5} + 5) d t$ すると、 $\frac{1}{6 t^{5} + 5} d u = d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = t^{6} + 5 t$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$t^{6} + 5 t$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [t^{6} + 5 t]$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $t^{6} + 5 t$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t^{6}] + \frac{d}{d t} [5 t]$ です。

$\frac{d}{d t} [t^{6}] + \frac{d}{d t} [5 t]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 6$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 t^{5} + \frac{d}{d t} [5 t]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d t} [5 t]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$5$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $5 t$ の微分係数は $5 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$6 t^{5} + 5 \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 t^{5} + 5 \cdot 1$

ステップ 1.1.3.3

$5$ に $1$ をかけます。

$6 t^{5} + 5$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \sqrt{u} d u$

ステップ 2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 3

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 4

$u$ のすべての発生を $t^{6} + 5 t$ で置き換えます。

$\frac{2}{3} {(t^{6} + 5 t)}^{\frac{3}{2}} + C$

微分積分 例