微分積分例

$y = \sin (x + y)$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\sin (x + y))$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = x + y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + y$ とします。

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x + y]$

ステップ 3.1.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x + y]$

ステップ 3.1.3

$u$ のすべての発生を $x + y$ で置き換えます。

$\cos (x + y) \frac{d}{d x} [x + y]$

ステップ 3.2

微分します。

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ステップ 3.2.1

総和則では、 $x + y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ です。

$\cos (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\cos (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\cos (x + y) (1 + y')$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \cos (x + y) (1 + y')$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

右辺を簡約します。

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ステップ 5.1.1

$\cos (x + y) (1 + y')$ を簡約します。

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ステップ 5.1.1.1

分配則を当てはめます。

$y' = \cos (x + y) \cdot 1 + \cos (x + y) y'$

ステップ 5.1.1.2

式を簡約します。

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ステップ 5.1.1.2.1

$\cos (x + y)$ に $1$ をかけます。

$y' = \cos (x + y) + \cos (x + y) y'$

ステップ 5.1.1.2.2

$\cos (x + y) + \cos (x + y) y'$ の因数を並べ替えます。

$y' = \cos (x + y) + y' \cos (x + y)$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $y' \cos (x + y)$ を引きます。

$y' - y' \cos (x + y) = \cos (x + y)$

ステップ 5.3

$y'$ を $y' - y' \cos (x + y)$ で因数分解します。

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ステップ 5.3.1

$y'$ を ${y'}^{1}$ で因数分解します。

$y' \cdot 1 - y' \cos (x + y) = \cos (x + y)$

ステップ 5.3.2

$y'$ を $- y' \cos (x + y)$ で因数分解します。

$y' \cdot 1 + y' (- 1 \cos (x + y)) = \cos (x + y)$

ステップ 5.3.3

$y'$ を $y' \cdot 1 + y' (- 1 \cos (x + y))$ で因数分解します。

$y' (1 - 1 \cos (x + y)) = \cos (x + y)$

ステップ 5.4

$- 1 \cos (x + y)$ を $- \cos (x + y)$ に書き換えます。

$y' (1 - \cos (x + y)) = \cos (x + y)$

ステップ 5.5

$y' (1 - \cos (x + y)) = \cos (x + y)$ の各項を $1 - \cos (x + y)$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.5.1

$y' (1 - \cos (x + y)) = \cos (x + y)$ の各項を $1 - \cos (x + y)$ で割ります。

$\frac{y' (1 - \cos (x + y))}{1 - \cos (x + y)} = \frac{\cos (x + y)}{1 - \cos (x + y)}$

ステップ 5.5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.5.2.1

$1 - \cos (x + y)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (1 - \cos (x + y))}{1 - \cos (x + y)} = \frac{\cos (x + y)}{1 - \cos (x + y)}$

ステップ 5.5.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{\cos (x + y)}{1 - \cos (x + y)}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos (x + y)}{1 - \cos (x + y)}$

微分積分 例

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