微分積分例

$y \cos (x) = 3 x^{2} + 4 y^{2}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y \cos (x)) = \frac{d}{d x} (3 x^{2} + 4 y^{2})$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

$f (x) = y$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$y \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$y (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$y (- \sin (x)) + \cos (x) y'$

ステップ 2.4

項を並べ替えます。

$- y \sin (x) + \cos (x) y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $3 x^{2} + 4 y^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

ステップ 3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

ステップ 3.2.3

$2$ に $3$ をかけます。

$6 x + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 y^{2}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ です。

$6 x + 4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 3.3.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$6 x + 4 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 x + 4 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.3.2.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$6 x + 4 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$6 x + 4 (2 y y')$

ステップ 3.3.4

$2$ に $4$ をかけます。

$6 x + 8 y y'$

ステップ 3.4

項を並べ替えます。

$8 y y' + 6 x$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$- y \sin (x) + \cos (x) y' = 8 y y' + 6 x$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

左辺を簡約します。

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ステップ 5.1.1

$- y \sin (x) + \cos (x) y'$ の因数を並べ替えます。

$- y \sin (x) + y' \cos (x) = 8 y y' + 6 x$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $8 y y'$ を引きます。

$- y \sin (x) + y' \cos (x) - 8 y y' = 6 x$

ステップ 5.3

方程式の両辺に $y \sin (x)$ を足します。

$y' \cos (x) - 8 y y' = 6 x + y \sin (x)$

ステップ 5.4

$y'$ を $y' \cos (x) - 8 y y'$ で因数分解します。

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ステップ 5.4.1

$y'$ を $y' \cos (x)$ で因数分解します。

$y' (\cos (x)) - 8 y y' = 6 x + y \sin (x)$

ステップ 5.4.2

$y'$ を $- 8 y y'$ で因数分解します。

$y' (\cos (x)) + y' (- 8 y) = 6 x + y \sin (x)$

ステップ 5.4.3

$y'$ を $y' (\cos (x)) + y' (- 8 y)$ で因数分解します。

$y' (\cos (x) - 8 y) = 6 x + y \sin (x)$

ステップ 5.5

$y' (\cos (x) - 8 y) = 6 x + y \sin (x)$ の各項を $\cos (x) - 8 y$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.5.1

$y' (\cos (x) - 8 y) = 6 x + y \sin (x)$ の各項を $\cos (x) - 8 y$ で割ります。

$\frac{y' (\cos (x) - 8 y)}{\cos (x) - 8 y} = \frac{6 x}{\cos (x) - 8 y} + \frac{y \sin (x)}{\cos (x) - 8 y}$

ステップ 5.5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.5.2.1

$\cos (x) - 8 y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (\cos (x) - 8 y)}{\cos (x) - 8 y} = \frac{6 x}{\cos (x) - 8 y} + \frac{y \sin (x)}{\cos (x) - 8 y}$

ステップ 5.5.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{6 x}{\cos (x) - 8 y} + \frac{y \sin (x)}{\cos (x) - 8 y}$

ステップ 5.5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.5.3.1

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{6 x + y \sin (x)}{\cos (x) - 8 y}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x + y \sin (x)}{\cos (x) - 8 y}$

微分積分 例

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