微分積分例

$y \sqrt{x + 1} = 4$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x + 1}$ を ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} = 4$

ステップ 2

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 3

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = y$ および $g (x) = {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$y \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}] + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 1$ とします。

$y (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

$y (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$y (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.5

公分母の分子をまとめます。

$y (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.6

分子を簡約します。

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ステップ 3.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$y (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$y (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.7

分数をまとめます。

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ステップ 3.7.1

分数の前に負数を移動させます。

$y (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.7.2

$\frac{1}{2}$ と ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$y (\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.7.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$y (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.7.4

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1] + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.8

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.10

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.11

式を簡約します。

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ステップ 3.11.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.11.2

$\frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.12

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y'$

ステップ 3.13

項を並べ替えます。

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y' + \frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y' + \frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

ステップ 6

$y'$ について解きます。

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ステップ 6.1

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y' + \frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ を簡約します。

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ステップ 6.1.1

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y'$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y' \cdot \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

ステップ 6.1.2

項を簡約します。

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ステップ 6.1.2.1

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y'$ と $\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y' (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

ステップ 6.1.2.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y' (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

ステップ 6.1.3

分子を簡約します。

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ステップ 6.1.3.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y' {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

ステップ 6.1.3.2

指数を足して ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ に ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 6.1.3.2.1

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{2 ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) y' + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

ステップ 6.1.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} y' + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

ステップ 6.1.3.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} y' + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

ステップ 6.1.3.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} y' + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

ステップ 6.1.3.2.5

$2$ を $2$ で割ります。

$\frac{2 {(x + 1)}^{1} y' + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

ステップ 6.1.3.3

$2 {(x + 1)}^{1} y'$ を簡約します。

$\frac{2 (x + 1) y' + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

ステップ 6.1.3.4

分配則を当てはめます。

$\frac{(2 x + 2 \cdot 1) y' + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

ステップ 6.1.3.5

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{(2 x + 2) y' + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

ステップ 6.1.3.6

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x y' + 2 y' + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

ステップ 6.2

分子を0に等しくします。

$2 x y' + 2 y' + y = 0$

ステップ 6.3

$y'$ について方程式を解きます。

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ステップ 6.3.1

方程式の両辺から $y$ を引きます。

$2 x y' + 2 y' = - y$

ステップ 6.3.2

$2 y'$ を $2 x y' + 2 y'$ で因数分解します。

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ステップ 6.3.2.1

$2 y'$ を $2 x y'$ で因数分解します。

$2 y' x + 2 y' = - y$

ステップ 6.3.2.2

$2 y'$ を $2 y'$ で因数分解します。

$2 y' x + 2 y' \cdot 1 = - y$

ステップ 6.3.2.3

$2 y'$ を $2 y' x + 2 y' \cdot 1$ で因数分解します。

$2 y' (x + 1) = - y$

ステップ 6.3.3

$2 y' (x + 1) = - y$ の各項を $2 (x + 1)$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.3.3.1

$2 y' (x + 1) = - y$ の各項を $2 (x + 1)$ で割ります。

$\frac{2 y' (x + 1)}{2 (x + 1)} = \frac{- y}{2 (x + 1)}$

ステップ 6.3.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.3.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y' (x + 1)}{2 (x + 1)} = \frac{- y}{2 (x + 1)}$

ステップ 6.3.3.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{- y}{2 (x + 1)}$

ステップ 6.3.3.2.2

$x + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{- y}{2 (x + 1)}$

ステップ 6.3.3.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- y}{2 (x + 1)}$

ステップ 6.3.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.3.3.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{y}{2 (x + 1)}$

ステップ 7

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{2 (x + 1)}$

微分積分 例

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