微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{{(2 + x)}^{3} - 8}{x}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} {(2 + x)}^{3} - 8}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

極限を求めます。

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ステップ 1.1.2.1.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 0} {(2 + x)}^{3} - lim_{x \to 0} 8}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.1.2

極限べき乗則を利用して、指数 $3$ を ${(2 + x)}^{3}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to 0} 2 + x)}^{3} - lim_{x \to 0} 8}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.1.3

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{{(lim_{x \to 0} 2 + lim_{x \to 0} x)}^{3} - lim_{x \to 0} 8}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.1.4

$x$ が $0$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{{(2 + lim_{x \to 0} x)}^{3} - lim_{x \to 0} 8}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.1.5

$x$ が $0$ に近づくと定数である $8$ の極限値を求めます。

$\frac{{(2 + lim_{x \to 0} x)}^{3} - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{{(2 + 0)}^{3} - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2^{3} - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.3.1.2

$2$ を $3$ 乗します。

$\frac{8 - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.3.1.3

$- 1$ に $8$ をかけます。

$\frac{8 - 8}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.3.2

$8$ から $8$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{{(2 + x)}^{3} - 8}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{3} - 8]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{3} - 8]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 ${(2 + x)}^{3} - 8$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.3

$\frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.3.1

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = 2 + x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.3.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 + x$ とします。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [2 + x] + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.3.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{3 u^{2} \frac{d}{d x} [2 + x] + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.3.1.3

$u$ のすべての発生を $2 + x$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{3 {(2 + x)}^{2} \frac{d}{d x} [2 + x] + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.3.2

総和則では、 $2 + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{3 {(2 + x)}^{2} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.3.3

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{3 {(2 + x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{3 {(2 + x)}^{2} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.3.5

$0$ と $1$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{3 {(2 + x)}^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.3.6

$3$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{3 {(2 + x)}^{2} + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.4

$- 8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 8$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{3 {(2 + x)}^{2} + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.5

$3 {(2 + x)}^{2}$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{3 {(2 + x)}^{2}}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{3 {(2 + x)}^{2}}{1}$

ステップ 1.4

$3 {(2 + x)}^{2}$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to 0} 3 {(2 + x)}^{2}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$3 lim_{x \to 0} {(2 + x)}^{2}$

ステップ 2.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を ${(2 + x)}^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$3 {(lim_{x \to 0} 2 + x)}^{2}$

ステップ 2.3

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$3 {(lim_{x \to 0} 2 + lim_{x \to 0} x)}^{2}$

ステップ 2.4

$x$ が $0$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$3 {(2 + lim_{x \to 0} x)}^{2}$

ステップ 3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$3 {(2 + 0)}^{2}$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$3 \cdot 2^{2}$

ステップ 4.2

$2$ を $2$ 乗します。

$3 \cdot 4$

ステップ 4.3

$3$ に $4$ をかけます。

$12$

微分積分 例

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