微分積分例

$\sin (x + y) = y^{2} \cos (x)$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (\sin (x + y)) = \frac{d}{d x} (y^{2} \cos (x))$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = x + y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + y$ とします。

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x + y]$

ステップ 2.1.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x + y]$

ステップ 2.1.3

$u$ のすべての発生を $x + y$ で置き換えます。

$\cos (x + y) \frac{d}{d x} [x + y]$

ステップ 2.2

微分します。

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ステップ 2.2.1

総和則では、 $x + y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ です。

$\cos (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\cos (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\cos (x + y) (1 + y')$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = y^{2}$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$y^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 3.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$y^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 3.3

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$y^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 u \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.3.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$y^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 y \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.4

$2$ を $\cos (x)$ の左に移動させます。

$y^{2} (- \sin (x)) + 2 \cdot \cos (x) y \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.5

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$y^{2} (- \sin (x)) + 2 \cos (x) y y'$

ステップ 3.6

項を並べ替えます。

$- y^{2} \sin (x) + 2 y \cos (x) y'$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$\cos (x + y) (1 + y') = - y^{2} \sin (x) + 2 y \cos (x) y'$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

左辺を簡約します。

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ステップ 5.1.1

$\cos (x + y) (1 + y')$ を簡約します。

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ステップ 5.1.1.1

書き換えます。

$0 + 0 + \cos (x + y) (1 + y') = - y^{2} \sin (x) + 2 y \cos (x) y'$

ステップ 5.1.1.2

0を加えて簡約します。

$\cos (x + y) (1 + y') = - y^{2} \sin (x) + 2 y \cos (x) y'$

ステップ 5.1.1.3

分配則を当てはめます。

$\cos (x + y) \cdot 1 + \cos (x + y) y' = - y^{2} \sin (x) + 2 y \cos (x) y'$

ステップ 5.1.1.4

式を簡約します。

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ステップ 5.1.1.4.1

$\cos (x + y)$ に $1$ をかけます。

$\cos (x + y) + \cos (x + y) y' = - y^{2} \sin (x) + 2 y \cos (x) y'$

ステップ 5.1.1.4.2

$\cos (x + y) + \cos (x + y) y'$ の因数を並べ替えます。

$\cos (x + y) + y' \cos (x + y) = - y^{2} \sin (x) + 2 y \cos (x) y'$

ステップ 5.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$- y^{2} \sin (x) + 2 y \cos (x) y'$ の因数を並べ替えます。

$\cos (x + y) + y' \cos (x + y) = - y^{2} \sin (x) + 2 y y' \cos (x)$

ステップ 5.3

方程式の両辺から $2 y y' \cos (x)$ を引きます。

$\cos (x + y) + y' \cos (x + y) - 2 y y' \cos (x) = - y^{2} \sin (x)$

ステップ 5.4

方程式の両辺から $\cos (x + y)$ を引きます。

$y' \cos (x + y) - 2 y y' \cos (x) = - y^{2} \sin (x) - \cos (x + y)$

ステップ 5.5

$y'$ を $y' \cos (x + y) - 2 y y' \cos (x)$ で因数分解します。

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ステップ 5.5.1

$y'$ を $y' \cos (x + y)$ で因数分解します。

$y' (\cos (x + y)) - 2 y y' \cos (x) = - y^{2} \sin (x) - \cos (x + y)$

ステップ 5.5.2

$y'$ を $- 2 y y' \cos (x)$ で因数分解します。

$y' (\cos (x + y)) + y' (- 2 y \cos (x)) = - y^{2} \sin (x) - \cos (x + y)$

ステップ 5.5.3

$y'$ を $y' (\cos (x + y)) + y' (- 2 y \cos (x))$ で因数分解します。

$y' (\cos (x + y) - 2 y \cos (x)) = - y^{2} \sin (x) - \cos (x + y)$

ステップ 5.6

$y' (\cos (x + y) - 2 y \cos (x)) = - y^{2} \sin (x) - \cos (x + y)$ の各項を $\cos (x + y) - 2 y \cos (x)$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.6.1

$y' (\cos (x + y) - 2 y \cos (x)) = - y^{2} \sin (x) - \cos (x + y)$ の各項を $\cos (x + y) - 2 y \cos (x)$ で割ります。

$\frac{y' (\cos (x + y) - 2 y \cos (x))}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)} = \frac{- y^{2} \sin (x)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)} + \frac{- \cos (x + y)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)}$

ステップ 5.6.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.6.2.1

$\cos (x + y) - 2 y \cos (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.6.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (\cos (x + y) - 2 y \cos (x))}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)} = \frac{- y^{2} \sin (x)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)} + \frac{- \cos (x + y)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)}$

ステップ 5.6.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- y^{2} \sin (x)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)} + \frac{- \cos (x + y)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)}$

ステップ 5.6.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.6.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.6.3.1.1

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{y^{2} \sin (x)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)} + \frac{- \cos (x + y)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)}$

ステップ 5.6.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{y^{2} \sin (x)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)} - \frac{\cos (x + y)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)}$

ステップ 5.6.3.2

項を簡約します。

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ステップ 5.6.3.2.1

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{- y^{2} \sin (x) - \cos (x + y)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)}$

ステップ 5.6.3.2.2

$- 1$ を $- y^{2} \sin (x)$ で因数分解します。

$y' = \frac{- (y^{2} \sin (x)) - \cos (x + y)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)}$

ステップ 5.6.3.2.3

$- 1$ を $- \cos (x + y)$ で因数分解します。

$y' = \frac{- (y^{2} \sin (x)) - (\cos (x + y))}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)}$

ステップ 5.6.3.2.4

$- 1$ を $- (y^{2} \sin (x)) - (\cos (x + y))$ で因数分解します。

$y' = \frac{- (y^{2} \sin (x) + \cos (x + y))}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)}$

ステップ 5.6.3.2.5

式を簡約します。

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ステップ 5.6.3.2.5.1

$- (y^{2} \sin (x) + \cos (x + y))$ を $- 1 (y^{2} \sin (x) + \cos (x + y))$ に書き換えます。

$y' = \frac{- 1 (y^{2} \sin (x) + \cos (x + y))}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)}$

ステップ 5.6.3.2.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{y^{2} \sin (x) + \cos (x + y)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} \sin (x) + \cos (x + y)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)}$

微分積分 例

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