微分積分例

${(x + 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 37$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2}) = \frac{d}{d x} (37)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

${(x + 2)}^{2}$ を $(x + 2) (x + 2)$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [(x + 2) (x + 2) + {(y - 3)}^{2}]$

ステップ 2.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 2) (x + 2)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [x (x + 2) + 2 (x + 2) + {(y - 3)}^{2}]$

ステップ 2.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2) + {(y - 3)}^{2}]$

ステップ 2.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2 + {(y - 3)}^{2}]$

ステップ 2.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2 + {(y - 3)}^{2}]$

ステップ 2.3.1.2

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2 + {(y - 3)}^{2}]$

ステップ 2.3.1.3

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 2 x + 4 + {(y - 3)}^{2}]$

ステップ 2.3.2

$2 x$ と $2 x$ をたし算します。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + {(y - 3)}^{2}]$

ステップ 2.4

${(y - 3)}^{2}$ を $(y - 3) (y - 3)$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + (y - 3) (y - 3)]$

ステップ 2.5

分配法則（FOIL法）を使って $(y - 3) (y - 3)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + y (y - 3) - 3 (y - 3)]$

ステップ 2.5.2

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + y \cdot y + y \cdot - 3 - 3 (y - 3)]$

ステップ 2.5.3

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + y \cdot y + y \cdot - 3 - 3 y - 3 \cdot - 3]$

ステップ 2.6

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1.1

$y$ に $y$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + y^{2} + y \cdot - 3 - 3 y - 3 \cdot - 3]$

ステップ 2.6.1.2

$- 3$ を $y$ の左に移動させます。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + y^{2} - 3 \cdot y - 3 y - 3 \cdot - 3]$

ステップ 2.6.1.3

$- 3$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + y^{2} - 3 y - 3 y + 9]$

ステップ 2.6.2

$- 3 y$ から $3 y$ を引きます。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + y^{2} - 6 y + 9]$

ステップ 2.7

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1

総和則では、 $x^{2} + 4 x + 4 + y^{2} - 6 y + 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 2.7.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 2.8

$\frac{d}{d x} [4 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 2.8.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 2.8.3

$4$ に $1$ をかけます。

$2 x + 4 + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 2.9

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$2 x + 4 + 0 + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 2.10

$\frac{d}{d x} [y^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$2 x + 4 + 0 + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 2.10.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + 4 + 0 + 2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 2.10.1.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$2 x + 4 + 0 + 2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 2.10.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$2 x + 4 + 0 + 2 y y' + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 2.11

$\frac{d}{d x} [- 6 y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.1

$- 6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 6 y$ の微分係数は $- 6 \frac{d}{d x} [y]$ です。

$2 x + 4 + 0 + 2 y y' - 6 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 2.11.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$2 x + 4 + 0 + 2 y y' - 6 y' + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 2.12

$9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$2 x + 4 + 0 + 2 y y' - 6 y' + 0$

ステップ 2.13

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.13.1

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.13.1.1

$2 x + 4$ と $0$ をたし算します。

$2 x + 4 + 2 y y' - 6 y' + 0$

ステップ 2.13.1.2

$2 x + 4 + 2 y y' - 6 y'$ と $0$ をたし算します。

$2 x + 4 + 2 y y' - 6 y'$

ステップ 2.13.2

項を並べ替えます。

$2 y y' + 2 x + 4 - 6 y'$

ステップ 3

$37$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $37$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$2 y y' + 2 x + 4 - 6 y' = 0$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$y'$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

方程式の両辺から $2 x$ を引きます。

$2 y y' + 4 - 6 y' = - 2 x$

ステップ 5.1.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$2 y y' - 6 y' = - 2 x - 4$

ステップ 5.2

$2 y'$ を $2 y y' - 6 y'$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$2 y'$ を $2 y y'$ で因数分解します。

$2 y' y - 6 y' = - 2 x - 4$

ステップ 5.2.2

$2 y'$ を $- 6 y'$ で因数分解します。

$2 y' y + 2 y' \cdot - 3 = - 2 x - 4$

ステップ 5.2.3

$2 y'$ を $2 y' y + 2 y' \cdot - 3$ で因数分解します。

$2 y' (y - 3) = - 2 x - 4$

ステップ 5.3

$2 y' (y - 3) = - 2 x - 4$ の各項を $2 (y - 3)$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$2 y' (y - 3) = - 2 x - 4$ の各項を $2 (y - 3)$ で割ります。

$\frac{2 y' (y - 3)}{2 (y - 3)} = \frac{- 2 x}{2 (y - 3)} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y' (y - 3)}{2 (y - 3)} = \frac{- 2 x}{2 (y - 3)} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

ステップ 5.3.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y' (y - 3)}{y - 3} = \frac{- 2 x}{2 (y - 3)} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

ステップ 5.3.2.2

$y - 3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (y - 3)}{y - 3} = \frac{- 2 x}{2 (y - 3)} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

ステップ 5.3.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- 2 x}{2 (y - 3)} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1.1

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1.1.1

$2$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (y - 3)} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

ステップ 5.3.3.1.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (y - 3)} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

ステップ 5.3.3.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y' = \frac{- x}{y - 3} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

ステップ 5.3.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{x}{y - 3} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

ステップ 5.3.3.1.3

$- 4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1.3.1

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$y' = - \frac{x}{y - 3} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (y - 3)}$

ステップ 5.3.3.1.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$y' = - \frac{x}{y - 3} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (y - 3)}$

ステップ 5.3.3.1.3.2.2

式を書き換えます。

$y' = - \frac{x}{y - 3} + \frac{- 2}{y - 3}$

ステップ 5.3.3.1.4

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{x}{y - 3} - \frac{2}{y - 3}$

ステップ 5.3.3.2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.1

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{- x - 2}{y - 3}$

ステップ 5.3.3.2.2

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$y' = \frac{- (x) - 2}{y - 3}$

ステップ 5.3.3.2.3

$- 2$ を $- 1 (2)$ に書き換えます。

$y' = \frac{- (x) - 1 (2)}{y - 3}$

ステップ 5.3.3.2.4

$- 1$ を $- (x) - 1 (2)$ で因数分解します。

$y' = \frac{- (x + 2)}{y - 3}$

ステップ 5.3.3.2.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.5.1

$- (x + 2)$ を $- 1 (x + 2)$ に書き換えます。

$y' = \frac{- 1 (x + 2)}{y - 3}$

ステップ 5.3.3.2.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{x + 2}{y - 3}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x + 2}{y - 3}$

微分積分 例

微分積分例