微分積分例

$x y + 2 x + 3 y = 1$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (x y + 2 x + 3 y) = \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $x y + 2 x + 3 y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$ です。

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [x y]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$f (x) = x$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

ステップ 2.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

ステップ 2.2.4

$y$ に $1$ をかけます。

$x y' + y + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x y' + y + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x y' + y + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 y]$

ステップ 2.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$x y' + y + 2 + \frac{d}{d x} [3 y]$

ステップ 2.4

$\frac{d}{d x} [3 y]$ の値を求めます。

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ステップ 2.4.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 y$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [y]$ です。

$x y' + y + 2 + 3 \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.4.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$x y' + y + 2 + 3 y'$

ステップ 2.5

項を並べ替えます。

$x y' + y + 3 y' + 2$

ステップ 3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$x y' + y + 3 y' + 2 = 0$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

$y'$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 5.1.1

方程式の両辺から $y$ を引きます。

$x y' + 3 y' + 2 = - y$

ステップ 5.1.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x y' + 3 y' = - y - 2$

ステップ 5.2

$y'$ を $x y' + 3 y'$ で因数分解します。

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ステップ 5.2.1

$y'$ を $x y'$ で因数分解します。

$y' x + 3 y' = - y - 2$

ステップ 5.2.2

$y'$ を $3 y'$ で因数分解します。

$y' x + y' \cdot 3 = - y - 2$

ステップ 5.2.3

$y'$ を $y' x + y' \cdot 3$ で因数分解します。

$y' (x + 3) = - y - 2$

ステップ 5.3

$y' (x + 3) = - y - 2$ の各項を $x + 3$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.1

$y' (x + 3) = - y - 2$ の各項を $x + 3$ で割ります。

$\frac{y' (x + 3)}{x + 3} = \frac{- y}{x + 3} + \frac{- 2}{x + 3}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$x + 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (x + 3)}{x + 3} = \frac{- y}{x + 3} + \frac{- 2}{x + 3}$

ステップ 5.3.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- y}{x + 3} + \frac{- 2}{x + 3}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{- y - 2}{x + 3}$

ステップ 5.3.3.2

$- 1$ を $- y$ で因数分解します。

$y' = \frac{- (y) - 2}{x + 3}$

ステップ 5.3.3.3

$- 2$ を $- 1 (2)$ に書き換えます。

$y' = \frac{- (y) - 1 (2)}{x + 3}$

ステップ 5.3.3.4

$- 1$ を $- (y) - 1 (2)$ で因数分解します。

$y' = \frac{- (y + 2)}{x + 3}$

ステップ 5.3.3.5

式を簡約します。

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ステップ 5.3.3.5.1

$- (y + 2)$ を $- 1 (y + 2)$ に書き換えます。

$y' = \frac{- 1 (y + 2)}{x + 3}$

ステップ 5.3.3.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{y + 2}{x + 3}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y + 2}{x + 3}$

微分積分 例

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