微分積分例

$x^{3} - 3 x^{2} y + 2 x y^{2} = 12$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (x^{3} - 3 x^{2} y + 2 x y^{2}) = \frac{d}{d x} (12)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

総和則では、 $x^{3} - 3 x^{2} y + 2 x y^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [2 x y^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [2 x y^{2}]$

ステップ 2.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [2 x y^{2}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2} y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x^{2} y$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ です。

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [2 x y^{2}]$

ステップ 2.2.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$3 x^{2} - 3 (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x y^{2}]$

ステップ 2.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x y^{2}]$

ステップ 2.2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + y (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 x y^{2}]$

ステップ 2.2.5

$2$ を $y$ の左に移動させます。

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + \frac{d}{d x} [2 x y^{2}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [2 x y^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x y^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ です。

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 2 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

ステップ 2.3.2

$f (x) = x$ および $g (x) = y^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 2 (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.3.3

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 2 (x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.3.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 2 (x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.3.3.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 2 (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.3.4

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 2 (x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 2 (x (2 y y') + y^{2} \cdot 1)$

ステップ 2.3.6

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 2 (2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1)$

ステップ 2.3.7

$y^{2}$ に $1$ をかけます。

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 2 (2 x y y' + y^{2})$

ステップ 2.4

簡約します。

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ステップ 2.4.1

分配則を当てはめます。

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y') - 3 (2 y x) + 2 (2 x y y' + y^{2})$

ステップ 2.4.2

分配則を当てはめます。

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y') - 3 (2 y x) + 2 (2 x y y') + 2 y^{2}$

ステップ 2.4.3

項をまとめます。

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ステップ 2.4.3.1

$2$ に $- 3$ をかけます。

$3 x^{2} - 3 x^{2} y' - 6 (y x) + 2 (2 x y y') + 2 y^{2}$

ステップ 2.4.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$3 x^{2} - 3 x^{2} y' - 6 y x + 4 x y y' + 2 y^{2}$

ステップ 2.4.4

項を並べ替えます。

$3 x^{2} + 2 y^{2} - 3 x^{2} y' - 6 x y + 4 x y y'$

ステップ 3

$12$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $12$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$3 x^{2} + 2 y^{2} - 3 x^{2} y' - 6 x y + 4 x y y' = 0$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

$y'$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 5.1.1

方程式の両辺から $3 x^{2}$ を引きます。

$2 y^{2} - 3 x^{2} y' - 6 x y + 4 x y y' = - 3 x^{2}$

ステップ 5.1.2

方程式の両辺から $2 y^{2}$ を引きます。

$- 3 x^{2} y' - 6 x y + 4 x y y' = - 3 x^{2} - 2 y^{2}$

ステップ 5.1.3

方程式の両辺に $6 x y$ を足します。

$- 3 x^{2} y' + 4 x y y' = - 3 x^{2} - 2 y^{2} + 6 x y$

ステップ 5.2

$x y'$ を $- 3 x^{2} y' + 4 x y y'$ で因数分解します。

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ステップ 5.2.1

$x y'$ を $- 3 x^{2} y'$ で因数分解します。

$x y' (- 3 x) + 4 x y y' = - 3 x^{2} - 2 y^{2} + 6 x y$

ステップ 5.2.2

$x y'$ を $4 x y y'$ で因数分解します。

$x y' (- 3 x) + x y' (4 y) = - 3 x^{2} - 2 y^{2} + 6 x y$

ステップ 5.2.3

$x y'$ を $x y' (- 3 x) + x y' (4 y)$ で因数分解します。

$x y' (- 3 x + 4 y) = - 3 x^{2} - 2 y^{2} + 6 x y$

ステップ 5.3

$x y' (- 3 x + 4 y) = - 3 x^{2} - 2 y^{2} + 6 x y$ の各項を $x (- 3 x + 4 y)$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.1

$x y' (- 3 x + 4 y) = - 3 x^{2} - 2 y^{2} + 6 x y$ の各項を $x (- 3 x + 4 y)$ で割ります。

$\frac{x y' (- 3 x + 4 y)}{x (- 3 x + 4 y)} = \frac{- 3 x^{2}}{x (- 3 x + 4 y)} + \frac{- 2 y^{2}}{x (- 3 x + 4 y)} + \frac{6 x y}{x (- 3 x + 4 y)}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x y' (- 3 x + 4 y)}{x (- 3 x + 4 y)} = \frac{- 3 x^{2}}{x (- 3 x + 4 y)} + \frac{- 2 y^{2}}{x (- 3 x + 4 y)} + \frac{6 x y}{x (- 3 x + 4 y)}$

ステップ 5.3.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y' (- 3 x + 4 y)}{- 3 x + 4 y} = \frac{- 3 x^{2}}{x (- 3 x + 4 y)} + \frac{- 2 y^{2}}{x (- 3 x + 4 y)} + \frac{6 x y}{x (- 3 x + 4 y)}$

ステップ 5.3.2.2

$- 3 x + 4 y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (- 3 x + 4 y)}{- 3 x + 4 y} = \frac{- 3 x^{2}}{x (- 3 x + 4 y)} + \frac{- 2 y^{2}}{x (- 3 x + 4 y)} + \frac{6 x y}{x (- 3 x + 4 y)}$

ステップ 5.3.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{x (- 3 x + 4 y)} + \frac{- 2 y^{2}}{x (- 3 x + 4 y)} + \frac{6 x y}{x (- 3 x + 4 y)}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1.1

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.1.1.1

$x$ を $- 3 x^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{x (- 3 x)}{x (- 3 x + 4 y)} + \frac{- 2 y^{2}}{x (- 3 x + 4 y)} + \frac{6 x y}{x (- 3 x + 4 y)}$

ステップ 5.3.3.1.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$y' = \frac{x (- 3 x)}{x (- 3 x + 4 y)} + \frac{- 2 y^{2}}{x (- 3 x + 4 y)} + \frac{6 x y}{x (- 3 x + 4 y)}$

ステップ 5.3.3.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y' = \frac{- 3 x}{- 3 x + 4 y} + \frac{- 2 y^{2}}{x (- 3 x + 4 y)} + \frac{6 x y}{x (- 3 x + 4 y)}$

ステップ 5.3.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{3 x}{- 3 x + 4 y} + \frac{- 2 y^{2}}{x (- 3 x + 4 y)} + \frac{6 x y}{x (- 3 x + 4 y)}$

ステップ 5.3.3.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{3 x}{- 3 x + 4 y} - \frac{2 y^{2}}{x (- 3 x + 4 y)} + \frac{6 x y}{x (- 3 x + 4 y)}$

ステップ 5.3.3.1.4

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1.4.1

共通因数を約分します。

$y' = - \frac{3 x}{- 3 x + 4 y} - \frac{2 y^{2}}{x (- 3 x + 4 y)} + \frac{6 x y}{x (- 3 x + 4 y)}$

ステップ 5.3.3.1.4.2

式を書き換えます。

$y' = - \frac{3 x}{- 3 x + 4 y} - \frac{2 y^{2}}{x (- 3 x + 4 y)} + \frac{6 y}{- 3 x + 4 y}$

ステップ 5.3.3.2

$- \frac{3 x}{- 3 x + 4 y}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$y' = - \frac{3 x}{- 3 x + 4 y} \cdot \frac{x}{x} - \frac{2 y^{2}}{x (- 3 x + 4 y)} + \frac{6 y}{- 3 x + 4 y}$

ステップ 5.3.3.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(- 3 x + 4 y) x$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 5.3.3.3.1

$\frac{3 x}{- 3 x + 4 y}$ に $\frac{x}{x}$ をかけます。

$y' = - \frac{3 x \cdot x}{(- 3 x + 4 y) x} - \frac{2 y^{2}}{x (- 3 x + 4 y)} + \frac{6 y}{- 3 x + 4 y}$

ステップ 5.3.3.3.2

$(- 3 x + 4 y) x$ の因数を並べ替えます。

$y' = - \frac{3 x \cdot x}{x (- 3 x + 4 y)} - \frac{2 y^{2}}{x (- 3 x + 4 y)} + \frac{6 y}{- 3 x + 4 y}$

ステップ 5.3.3.4

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{- 3 x \cdot x - 2 y^{2}}{x (- 3 x + 4 y)} + \frac{6 y}{- 3 x + 4 y}$

ステップ 5.3.3.5

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 5.3.3.5.1

$x$ を移動させます。

$y' = \frac{- 3 (x \cdot x) - 2 y^{2}}{x (- 3 x + 4 y)} + \frac{6 y}{- 3 x + 4 y}$

ステップ 5.3.3.5.2

$x$ に $x$ をかけます。

$y' = \frac{- 3 x^{2} - 2 y^{2}}{x (- 3 x + 4 y)} + \frac{6 y}{- 3 x + 4 y}$

ステップ 5.3.3.6

$\frac{6 y}{- 3 x + 4 y}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$y' = \frac{- 3 x^{2} - 2 y^{2}}{x (- 3 x + 4 y)} + \frac{6 y}{- 3 x + 4 y} \cdot \frac{x}{x}$

ステップ 5.3.3.7

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $x (- 3 x + 4 y)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 5.3.3.7.1

$\frac{6 y}{- 3 x + 4 y}$ に $\frac{x}{x}$ をかけます。

$y' = \frac{- 3 x^{2} - 2 y^{2}}{x (- 3 x + 4 y)} + \frac{6 y x}{(- 3 x + 4 y) x}$

ステップ 5.3.3.7.2

$(- 3 x + 4 y) x$ の因数を並べ替えます。

$y' = \frac{- 3 x^{2} - 2 y^{2}}{x (- 3 x + 4 y)} + \frac{6 y x}{x (- 3 x + 4 y)}$

ステップ 5.3.3.8

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{- 3 x^{2} - 2 y^{2} + 6 y x}{x (- 3 x + 4 y)}$

ステップ 5.3.3.9

$- 1$ を $- 3 x^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{- (3 x^{2}) - 2 y^{2} + 6 y x}{x (- 3 x + 4 y)}$

ステップ 5.3.3.10

$- 1$ を $- 2 y^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{- (3 x^{2}) - (2 y^{2}) + 6 y x}{x (- 3 x + 4 y)}$

ステップ 5.3.3.11

$- 1$ を $- (3 x^{2}) - (2 y^{2})$ で因数分解します。

$y' = \frac{- (3 x^{2} + 2 y^{2}) + 6 y x}{x (- 3 x + 4 y)}$

ステップ 5.3.3.12

$- 1$ を $6 y x$ で因数分解します。

$y' = \frac{- (3 x^{2} + 2 y^{2}) - (- 6 y x)}{x (- 3 x + 4 y)}$

ステップ 5.3.3.13

$- 1$ を $- (3 x^{2} + 2 y^{2}) - (- 6 y x)$ で因数分解します。

$y' = \frac{- (3 x^{2} + 2 y^{2} - 6 y x)}{x (- 3 x + 4 y)}$

ステップ 5.3.3.14

$- (3 x^{2} + 2 y^{2} - 6 y x)$ を $- 1 (3 x^{2} + 2 y^{2} - 6 y x)$ に書き換えます。

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} + 2 y^{2} - 6 y x)}{x (- 3 x + 4 y)}$

ステップ 5.3.3.15

$- 1$ を $- 3 x$ で因数分解します。

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} + 2 y^{2} - 6 y x)}{x (- (3 x) + 4 y)}$

ステップ 5.3.3.16

$- 1$ を $4 y$ で因数分解します。

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} + 2 y^{2} - 6 y x)}{x (- (3 x) - (- 4 y))}$

ステップ 5.3.3.17

$- 1$ を $- (3 x) - (- 4 y)$ で因数分解します。

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} + 2 y^{2} - 6 y x)}{x (- (3 x - 4 y))}$

ステップ 5.3.3.18

$- (3 x - 4 y)$ を $- 1 (3 x - 4 y)$ に書き換えます。

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} + 2 y^{2} - 6 y x)}{x (- 1 (3 x - 4 y))}$

ステップ 5.3.3.19

共通因数を約分します。

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} + 2 y^{2} - 6 y x)}{x (- 1 (3 x - 4 y))}$

ステップ 5.3.3.20

式を書き換えます。

$y' = \frac{3 x^{2} + 2 y^{2} - 6 y x}{x (3 x - 4 y)}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} + 2 y^{2} - 6 y x}{x (3 x - 4 y)}$

微分積分 例

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