微分積分例

$f (x) = \frac{4}{x^{2}} - 10 x^{3}$

ステップ 1

総和則では、 $\frac{4}{x^{2}} - 10 x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{2}}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{4}{x^{2}}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

ステップ 2.2

$\frac{1}{x^{2}}$ を ${(x^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$4 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

ステップ 2.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2}$ とします。

$4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

ステップ 2.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

ステップ 2.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$4 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

ステップ 2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

ステップ 2.5

${(x^{2})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$4 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

ステップ 2.5.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$4 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

ステップ 2.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$4 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

ステップ 2.7

$x$ を $1$ 乗します。

$4 (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

ステップ 2.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

ステップ 2.9

$1$ から $4$ を引きます。

$4 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

ステップ 2.10

$- 2$ に $4$ をかけます。

$- 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$- 10$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 10 x^{3}$ の微分係数は $- 10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$- 8 x^{- 3} - 10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 8 x^{- 3} - 10 (3 x^{2})$

ステップ 3.3

$3$ に $- 10$ をかけます。

$- 8 x^{- 3} - 30 x^{2}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 8 \frac{1}{x^{3}} - 30 x^{2}$

ステップ 4.2

項をまとめます。

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ステップ 4.2.1

$- 8$ と $\frac{1}{x^{3}}$ をまとめます。

$\frac{- 8}{x^{3}} - 30 x^{2}$

ステップ 4.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{8}{x^{3}} - 30 x^{2}$

ステップ 4.3

項を並べ替えます。

$- 30 x^{2} - \frac{8}{x^{3}}$

微分積分 例

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