微分積分例

$\sin^{-1} (2 x + 1)$

ステップ 1

$f (x) = \sin^{-1} (x)$ および $g (x) = 2 x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x + 1$ とします。

$\frac{d}{d u} [\sin^{-1} (u)] \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\sin^{-1} (u)$ の微分係数は $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ です。

$\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $2 x + 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}} \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $2 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.4

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}} (2 + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.5

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}} (2 + 0)$

ステップ 2.6

分数をまとめます。

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ステップ 2.6.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}} \cdot 2$

ステップ 2.6.2

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}}$

微分積分 例