微分積分例

$x^{2} {(x - 2)}^{4}$

ステップ 1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = {(x - 2)}^{4}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{4}] + {(x - 2)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{4}$ および $g (x) = x - 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 2$ とします。

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} (4 u^{3} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $x - 2$ で置き換えます。

$x^{2} (4 {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$x^{2} (4 {(x - 2)}^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])) + {(x - 2)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} (4 {(x - 2)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])) + {(x - 2)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.3

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$x^{2} (4 {(x - 2)}^{3} (1 + 0)) + {(x - 2)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.4

式を簡約します。

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ステップ 3.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$x^{2} (4 {(x - 2)}^{3} \cdot 1) + {(x - 2)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.4.2

$4$ に $1$ をかけます。

$x^{2} (4 {(x - 2)}^{3}) + {(x - 2)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} (4 {(x - 2)}^{3}) + {(x - 2)}^{4} (2 x)$

ステップ 3.6

$2$ を ${(x - 2)}^{4}$ の左に移動させます。

$x^{2} (4 {(x - 2)}^{3}) + 2 \cdot {(x - 2)}^{4} x$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$x \cdot 2 {(x - 2)}^{3}$ を $x^{2} (4 {(x - 2)}^{3}) + 2 {(x - 2)}^{4} x$ で因数分解します。

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ステップ 4.1.1

$x \cdot 2 {(x - 2)}^{3}$ を $x^{2} (4 {(x - 2)}^{3})$ で因数分解します。

$x \cdot 2 {(x - 2)}^{3} (x \cdot (2)) + 2 {(x - 2)}^{4} x$

ステップ 4.1.2

$x \cdot 2 {(x - 2)}^{3}$ を $2 {(x - 2)}^{4} x$ で因数分解します。

$x \cdot 2 {(x - 2)}^{3} (x \cdot (2)) + x \cdot 2 {(x - 2)}^{3} (x - 2)$

ステップ 4.1.3

$x \cdot 2 {(x - 2)}^{3}$ を $x \cdot 2 {(x - 2)}^{3} (x \cdot (2)) + x \cdot 2 {(x - 2)}^{3} (x - 2)$ で因数分解します。

$x \cdot 2 {(x - 2)}^{3} (x \cdot (2) + x - 2)$

ステップ 4.2

項をまとめます。

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ステップ 4.2.1

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$2 \cdot x {(x - 2)}^{3} (x \cdot (2) + x - 2)$

ステップ 4.2.2

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$2 x {(x - 2)}^{3} (2 \cdot x + x - 2)$

ステップ 4.2.3

$2 x$ と $x$ をたし算します。

$2 x {(x - 2)}^{3} (3 x - 2)$

微分積分 例

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