微分積分例

$e^{3 t \sin (2 t)}$

ステップ 1

$f (t) = e^{t}$ および $g (t) = 3 t \sin (2 t)$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $3 t \sin (2 t)$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [3 t \sin (2 t)]$

ステップ 1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [3 t \sin (2 t)]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $3 t \sin (2 t)$ で置き換えます。

$e^{3 t \sin (2 t)} \frac{d}{d t} [3 t \sin (2 t)]$

ステップ 2

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 2.1

$3$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $3 t \sin (2 t)$ の微分係数は $3 \frac{d}{d t} [t \sin (2 t)]$ です。

$e^{3 t \sin (2 t)} (3 \frac{d}{d t} [t \sin (2 t)])$

ステップ 2.2

$3$ を $e^{3 t \sin (2 t)}$ の左に移動させます。

$3 \cdot e^{3 t \sin (2 t)} \frac{d}{d t} [t \sin (2 t)]$

ステップ 3

$f (t) = t$ および $g (t) = \sin (2 t)$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ は $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$3 e^{3 t \sin (2 t)} (t \frac{d}{d t} [\sin (2 t)] + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 4

$f (t) = \sin (t)$ および $g (t) = 2 t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $2 t$ とします。

$3 e^{3 t \sin (2 t)} (t (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d t} [2 t]) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 4.2

$u_{2}$ に関する $\sin (u_{2})$ の微分係数は $\cos (u_{2})$ です。

$3 e^{3 t \sin (2 t)} (t (\cos (u_{2}) \frac{d}{d t} [2 t]) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $2 t$ で置き換えます。

$3 e^{3 t \sin (2 t)} (t (\cos (2 t) \frac{d}{d t} [2 t]) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 5

微分します。

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ステップ 5.1

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $2 t$ の微分係数は $2 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$3 e^{3 t \sin (2 t)} (t (\cos (2 t) (2 \frac{d}{d t} [t])) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 5.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 e^{3 t \sin (2 t)} (t (\cos (2 t) (2 \cdot 1)) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 5.3

式を簡約します。

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ステップ 5.3.1

$2$ に $1$ をかけます。

$3 e^{3 t \sin (2 t)} (t (\cos (2 t) \cdot 2) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 5.3.2

$2$ を $\cos (2 t)$ の左に移動させます。

$3 e^{3 t \sin (2 t)} (t (2 \cdot \cos (2 t)) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 5.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 e^{3 t \sin (2 t)} (t (2 \cos (2 t)) + \sin (2 t) \cdot 1)$

ステップ 5.5

$\sin (2 t)$ に $1$ をかけます。

$3 e^{3 t \sin (2 t)} (t (2 \cos (2 t)) + \sin (2 t))$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$3 e^{3 t \sin (2 t)} (t (2 \cos (2 t))) + 3 e^{3 t \sin (2 t)} \sin (2 t)$

ステップ 6.2

$2$ に $3$ をかけます。

$6 e^{3 t \sin (2 t)} t \cos (2 t) + 3 e^{3 t \sin (2 t)} \sin (2 t)$

微分積分 例

微分積分例