微分積分例

$\sin^{2} (e^{\sin^{2} (t)})$

ステップ 1

$f (t) = t^{2}$ および $g (t) = \sin (e^{\sin^{2} (t)})$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\sin (e^{\sin^{2} (t)})$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d t} [\sin (e^{\sin^{2} (t)})]$

ステップ 1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u_{1} \frac{d}{d t} [\sin (e^{\sin^{2} (t)})]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\sin (e^{\sin^{2} (t)})$ で置き換えます。

$2 \sin (e^{\sin^{2} (t)}) \frac{d}{d t} [\sin (e^{\sin^{2} (t)})]$

ステップ 2

$f (t) = \sin (t)$ および $g (t) = e^{\sin^{2} (t)}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $e^{\sin^{2} (t)}$ とします。

$2 \sin (e^{\sin^{2} (t)}) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d t} [e^{\sin^{2} (t)}])$

ステップ 2.2

$u_{2}$ に関する $\sin (u_{2})$ の微分係数は $\cos (u_{2})$ です。

$2 \sin (e^{\sin^{2} (t)}) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d t} [e^{\sin^{2} (t)}])$

ステップ 2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $e^{\sin^{2} (t)}$ で置き換えます。

$2 \sin (e^{\sin^{2} (t)}) (\cos (e^{\sin^{2} (t)}) \frac{d}{d t} [e^{\sin^{2} (t)}])$

ステップ 3

$f (t) = e^{t}$ および $g (t) = \sin^{2} (t)$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{3}$ を $\sin^{2} (t)$ とします。

$2 \sin (e^{\sin^{2} (t)}) \cos (e^{\sin^{2} (t)}) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d t} [\sin^{2} (t)])$

ステップ 3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ は $a^{u_{3}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$2 \sin (e^{\sin^{2} (t)}) \cos (e^{\sin^{2} (t)}) (e^{u_{3}} \frac{d}{d t} [\sin^{2} (t)])$

ステップ 3.3

$u_{3}$ のすべての発生を $\sin^{2} (t)$ で置き換えます。

$2 \sin (e^{\sin^{2} (t)}) \cos (e^{\sin^{2} (t)}) (e^{\sin^{2} (t)} \frac{d}{d t} [\sin^{2} (t)])$

ステップ 4

$f (t) = t^{2}$ および $g (t) = \sin (t)$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{4}$ を $\sin (t)$ とします。

$2 \sin (e^{\sin^{2} (t)}) \cos (e^{\sin^{2} (t)}) e^{\sin^{2} (t)} (\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{2}] \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

ステップ 4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{n}]$ は $n {u_{4}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \sin (e^{\sin^{2} (t)}) \cos (e^{\sin^{2} (t)}) e^{\sin^{2} (t)} (2 u_{4} \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

ステップ 4.3

$u_{4}$ のすべての発生を $\sin (t)$ で置き換えます。

$2 \sin (e^{\sin^{2} (t)}) \cos (e^{\sin^{2} (t)}) e^{\sin^{2} (t)} (2 \sin (t) \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

ステップ 5

$2$ に $2$ をかけます。

$4 \sin (e^{\sin^{2} (t)}) \cos (e^{\sin^{2} (t)}) e^{\sin^{2} (t)} (\sin (t) \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

ステップ 6

$t$ に関する $\sin (t)$ の微分係数は $\cos (t)$ です。

$4 \sin (e^{\sin^{2} (t)}) \cos (e^{\sin^{2} (t)}) e^{\sin^{2} (t)} \sin (t) \cos (t)$

ステップ 7

$4 \sin (e^{\sin^{2} (t)}) \cos (e^{\sin^{2} (t)}) e^{\sin^{2} (t)} \sin (t) \cos (t)$ の因数を並べ替えます。

$4 e^{\sin^{2} (t)} \cos (e^{\sin^{2} (t)}) \cos (t) \sin (e^{\sin^{2} (t)}) \sin (t)$

微分積分 例

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