微分積分例

$F (x) = \sqrt{x} - 5 \sqrt[3]{x}$

ステップ 1

総和則では、 $\sqrt{x} - 5 \sqrt[3]{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

ステップ 2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

ステップ 2.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

ステップ 2.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

ステップ 2.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

ステップ 2.6

分子を簡約します。

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ステップ 2.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

ステップ 2.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

ステップ 2.7

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x}$ を $x^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 3.2

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x^{\frac{1}{3}}$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ です。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 3.3

$n = \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 5 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

ステップ 3.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 5 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

ステップ 3.5

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 5 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

ステップ 3.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 5 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

ステップ 3.7

分子を簡約します。

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ステップ 3.7.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 5 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

ステップ 3.7.2

$1$ から $3$ を引きます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 5 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

ステップ 3.8

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 5 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

ステップ 3.9

$\frac{1}{3}$ と $x^{- \frac{2}{3}}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 5 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

ステップ 3.10

$- 5$ と $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{- 5 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

ステップ 3.11

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{2}{3}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{- 5}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 3.12

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{5}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{5}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 4.2

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{5}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

微分積分 例

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