微分積分例

$y = 3 x (6 x - 5 x^{2})$

ステップ 1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x (6 x - 5 x^{2})$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x (6 x - 5 x^{2})]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x (6 x - 5 x^{2})]$

ステップ 2

$f (x) = x$ および $g (x) = 6 x - 5 x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$3 (x \frac{d}{d x} [6 x - 5 x^{2}] + (6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $6 x - 5 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ です。

$3 (x (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]) + (6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.2

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 (x (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]) + (6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (x (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]) + (6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.4

$6$ に $1$ をかけます。

$3 (x (6 + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]) + (6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.5

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x^{2}$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 (x (6 - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (x (6 - 5 (2 x)) + (6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.7

$2$ に $- 5$ をかけます。

$3 (x (6 - 10 x) + (6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (x (6 - 10 x) + (6 x - 5 x^{2}) \cdot 1)$

ステップ 3.9

$6 x - 5 x^{2}$ に $1$ をかけます。

$3 (x (6 - 10 x) + 6 x - 5 x^{2})$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$3 (x \cdot 6 + x (- 10 x) + 6 x - 5 x^{2})$

ステップ 4.2

分配則を当てはめます。

$3 (x \cdot 6) + 3 (x (- 10 x)) + 3 (6 x) + 3 (- 5 x^{2})$

ステップ 4.3

項をまとめます。

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ステップ 4.3.1

$6$ を $x$ の左に移動させます。

$3 (6 \cdot x) + 3 (x (- 10 x)) + 3 (6 x) + 3 (- 5 x^{2})$

ステップ 4.3.2

$6$ に $3$ をかけます。

$18 x + 3 (x (- 10 x)) + 3 (6 x) + 3 (- 5 x^{2})$

ステップ 4.3.3

$x$ を $1$ 乗します。

$18 x + 3 (- 10 (x^{1} x)) + 3 (6 x) + 3 (- 5 x^{2})$

ステップ 4.3.4

$x$ を $1$ 乗します。

$18 x + 3 (- 10 (x^{1} x^{1})) + 3 (6 x) + 3 (- 5 x^{2})$

ステップ 4.3.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$18 x + 3 (- 10 x^{1 + 1}) + 3 (6 x) + 3 (- 5 x^{2})$

ステップ 4.3.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$18 x + 3 (- 10 x^{2}) + 3 (6 x) + 3 (- 5 x^{2})$

ステップ 4.3.7

$- 10$ に $3$ をかけます。

$18 x - 30 x^{2} + 3 (6 x) + 3 (- 5 x^{2})$

ステップ 4.3.8

$6$ に $3$ をかけます。

$18 x - 30 x^{2} + 18 x + 3 (- 5 x^{2})$

ステップ 4.3.9

$18 x$ と $18 x$ をたし算します。

$- 30 x^{2} + 36 x + 3 (- 5 x^{2})$

ステップ 4.3.10

$- 5$ に $3$ をかけます。

$- 30 x^{2} + 36 x - 15 x^{2}$

ステップ 4.3.11

$- 30 x^{2}$ から $15 x^{2}$ を引きます。

$- 45 x^{2} + 36 x$

微分積分 例

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