微分積分例

$\frac{e^{x}}{x^{3}}$

ステップ 1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

ステップ 2

${(x^{3})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

ステップ 2.2

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{x^{3} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 4

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 4.1

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{3} e^{x} - e^{x} (3 x^{2})}{x^{6}}$

ステップ 4.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x^{3} e^{x} - 3 e^{x} x^{2}}{x^{6}}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$x^{3} e^{x} - 3 e^{x} x^{2}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x}}{x^{6}}$

ステップ 5.2

項を並べ替えます。

$\frac{e^{x} x^{3} - 3 e^{x} x^{2}}{x^{6}}$

ステップ 5.3

分子を簡約します。

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ステップ 5.3.1

$x^{2}$ を $e^{x} x^{3} - 3 e^{x} x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 5.3.1.1

$x^{2}$ を $e^{x} x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} (e^{x} x) - 3 e^{x} x^{2}}{x^{6}}$

ステップ 5.3.1.2

$x^{2}$ を $- 3 e^{x} x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} (e^{x} x) + x^{2} (- 3 e^{x})}{x^{6}}$

ステップ 5.3.1.3

$x^{2}$ を $x^{2} (e^{x} x) + x^{2} (- 3 e^{x})$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} (e^{x} x - 3 e^{x})}{x^{6}}$

ステップ 5.3.2

$e^{x}$ を $e^{x} x - 3 e^{x}$ で因数分解します。

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ステップ 5.3.2.1

$e^{x}$ を $e^{x} x$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} (e^{x} (x) - 3 e^{x})}{x^{6}}$

ステップ 5.3.2.2

$e^{x}$ を $- 3 e^{x}$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} (e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 3)}{x^{6}}$

ステップ 5.3.2.3

$e^{x}$ を $e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 3$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} (e^{x} (x - 3))}{x^{6}}$

$\frac{x^{2} e^{x} (x - 3)}{x^{6}}$

ステップ 5.4

$x^{2}$ と $x^{6}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.1

$x^{2}$ を $x^{2} e^{x} (x - 3)$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} (e^{x} (x - 3))}{x^{6}}$

ステップ 5.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.1

$x^{2}$ を $x^{6}$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} (e^{x} (x - 3))}{x^{2} x^{4}}$

ステップ 5.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2} (e^{x} (x - 3))}{x^{2} x^{4}}$

ステップ 5.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{e^{x} (x - 3)}{x^{4}}$

微分積分 例

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