微分積分例

$\sqrt[3]{\frac{8}{x}}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{\frac{8}{x}}$ を ${(\frac{8}{x})}^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(\frac{8}{x})}^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ および $g (x) = \frac{8}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{8}{x}$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

ステップ 2.2

$n = \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $\frac{8}{x}$ で置き換えます。

$\frac{1}{3} {(\frac{8}{x})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

ステップ 3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{1}{3} {(\frac{8}{x})}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

ステップ 4

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{3} {(\frac{8}{x})}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{3} {(\frac{8}{x})}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{3} {(\frac{8}{x})}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

ステップ 6.2

$1$ から $3$ を引きます。

$\frac{1}{3} {(\frac{8}{x})}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

ステップ 7

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{3} {(\frac{8}{x})}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

ステップ 8

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{8}{x}$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$\frac{1}{3} {(\frac{8}{x})}^{- \frac{2}{3}} (8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

ステップ 9

分数をまとめます。

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ステップ 9.1

$8$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{8}{3} {(\frac{8}{x})}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 9.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{8}{3} {(\frac{8}{x})}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

ステップ 10

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{8}{3} {(\frac{8}{x})}^{- \frac{2}{3}} (- x^{- 2})$

ステップ 11

分数をまとめます。

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ステップ 11.1

$\frac{8}{3}$ と $x^{- 2}$ をまとめます。

${(\frac{8}{x})}^{- \frac{2}{3}} (- \frac{8 x^{- 2}}{3})$

ステップ 11.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 2}$ を分母に移動させます。

${(\frac{8}{x})}^{- \frac{2}{3}} (- \frac{8}{3 x^{2}})$

ステップ 12

簡約します。

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ステップ 12.1

底を逆数に書き換えて、指数の符号を変更します。

${(\frac{x}{8})}^{\frac{2}{3}} (- \frac{8}{3 x^{2}})$

ステップ 12.2

積の法則を $\frac{x}{8}$ に当てはめます。

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}} (- \frac{8}{3 x^{2}})$

ステップ 12.3

項をまとめます。

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ステップ 12.3.1

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{{(2^{3})}^{\frac{2}{3}}} (- \frac{8}{3 x^{2}})$

ステップ 12.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{2^{3 (\frac{2}{3})}} (- \frac{8}{3 x^{2}})$

ステップ 12.3.3

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 12.3.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{2^{3 (\frac{2}{3})}} (- \frac{8}{3 x^{2}})$

ステップ 12.3.3.2

式を書き換えます。

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{2^{2}} (- \frac{8}{3 x^{2}})$

ステップ 12.3.4

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{4} (- \frac{8}{3 x^{2}})$

ステップ 12.3.5

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{4}$ に $\frac{8}{3 x^{2}}$ をかけます。

$- \frac{x^{\frac{2}{3}} \cdot 8}{4 (3 x^{2})}$

ステップ 12.3.6

$3$ に $4$ をかけます。

$- \frac{x^{\frac{2}{3}} \cdot 8}{12 x^{2}}$

ステップ 12.3.7

$8$ を $x^{\frac{2}{3}}$ の左に移動させます。

$- \frac{8 \cdot x^{\frac{2}{3}}}{12 x^{2}}$

ステップ 12.3.8

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して $x^{\frac{2}{3}}$ を分母に移動させます。

$- \frac{8}{12 x^{2} x^{- \frac{2}{3}}}$

ステップ 12.3.9

指数を足して $x^{2}$ に $x^{- \frac{2}{3}}$ を掛けます。

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ステップ 12.3.9.1

$x^{- \frac{2}{3}}$ を移動させます。

$- \frac{8}{12 (x^{- \frac{2}{3}} x^{2})}$

ステップ 12.3.9.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{8}{12 x^{- \frac{2}{3} + 2}}$

ステップ 12.3.9.3

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$- \frac{8}{12 x^{- \frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}}}$

ステップ 12.3.9.4

$2$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$- \frac{8}{12 x^{- \frac{2}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}}}$

ステップ 12.3.9.5

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{8}{12 x^{\frac{- 2 + 2 \cdot 3}{3}}}$

ステップ 12.3.9.6

分子を簡約します。

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ステップ 12.3.9.6.1

$2$ に $3$ をかけます。

$- \frac{8}{12 x^{\frac{- 2 + 6}{3}}}$

ステップ 12.3.9.6.2

$- 2$ と $6$ をたし算します。

$- \frac{8}{12 x^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 12.3.10

$4$ を $8$ で因数分解します。

$- \frac{4 (2)}{12 x^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 12.3.11

共通因数を約分します。

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ステップ 12.3.11.1

$4$ を $12 x^{\frac{4}{3}}$ で因数分解します。

$- \frac{4 (2)}{4 (3 x^{\frac{4}{3}})}$

ステップ 12.3.11.2

共通因数を約分します。

$- \frac{4 \cdot 2}{4 (3 x^{\frac{4}{3}})}$

ステップ 12.3.11.3

式を書き換えます。

$- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

微分積分 例

微分積分例