微分積分例

$t \sqrt{4 - t}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{4 - t}$ を ${(4 - t)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d t} [t {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2

$f (t) = t$ および $g (t) = {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ は $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$t \frac{d}{d t} [{(4 - t)}^{\frac{1}{2}}] + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 3

$f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ および $g (t) = 4 - t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $4 - t$ とします。

$t (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [4 - t]) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 3.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$t (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [4 - t]) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $4 - t$ で置き換えます。

$t (\frac{1}{2} {(4 - t)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [4 - t]) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$t (\frac{1}{2} {(4 - t)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [4 - t]) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$t (\frac{1}{2} {(4 - t)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [4 - t]) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 6

公分母の分子をまとめます。

$t (\frac{1}{2} {(4 - t)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [4 - t]) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 7

分子を簡約します。

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ステップ 7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$t (\frac{1}{2} {(4 - t)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [4 - t]) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$t (\frac{1}{2} {(4 - t)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [4 - t]) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 8

分数をまとめます。

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ステップ 8.1

分数の前に負数を移動させます。

$t (\frac{1}{2} {(4 - t)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [4 - t]) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 8.2

$\frac{1}{2}$ と ${(4 - t)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$t (\frac{{(4 - t)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [4 - t]) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 8.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(4 - t)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$t (\frac{1}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [4 - t]) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 8.4

$\frac{1}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$ と $t$ をまとめます。

$\frac{t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [4 - t] + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 9

総和則では、 $4 - t$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [4] + \frac{d}{d t} [- t]$ です。

$\frac{t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [4] + \frac{d}{d t} [- t]) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 10

$4$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d t} [- t]) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 11

$0$ と $\frac{d}{d t} [- t]$ をたし算します。

$\frac{t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [- t] + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 12

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- t$ の微分係数は $- \frac{d}{d t} [t]$ です。

$\frac{t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d t} [t]) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 13

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} (- 1 \cdot 1) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 14

分数をまとめます。

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ステップ 14.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1 + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 14.2

$\frac{t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{t \cdot - 1}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 14.3

式を簡約します。

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ステップ 14.3.1

$- 1$ を $t$ の左に移動させます。

$\frac{- 1 \cdot t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 14.3.2

$- 1 t$ を $- t$ に書き換えます。

$\frac{- t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 14.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 15

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

ステップ 16

${(4 - t)}^{\frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 17

${(4 - t)}^{\frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$- \frac{t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 18

${(4 - t)}^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$- \frac{t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(4 - t)}^{\frac{1}{2}} (2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 19

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- t + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} (2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 20

指数を足して ${(4 - t)}^{\frac{1}{2}}$ に ${(4 - t)}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 20.1

${(4 - t)}^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{- t + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 20.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- t + {(4 - t)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 20.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- t + {(4 - t)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 20.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- t + {(4 - t)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 20.5

$2$ を $2$ で割ります。

$\frac{- t + {(4 - t)}^{1} \cdot 2}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 21

${(4 - t)}^{1} \cdot 2$ を簡約します。

$\frac{- t + (4 - t) \cdot 2}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 22

$2$ を $4 - t$ の左に移動させます。

$\frac{- t + 2 \cdot (4 - t)}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 23

簡約します。

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ステップ 23.1

分配則を当てはめます。

$\frac{- t + 2 \cdot 4 + 2 (- t)}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 23.2

分子を簡約します。

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ステップ 23.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 23.2.1.1

$2$ に $4$ をかけます。

$\frac{- t + 8 + 2 (- t)}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 23.2.1.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{- t + 8 - 2 t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 23.2.2

$- t$ から $2 t$ を引きます。

$\frac{- 3 t + 8}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 23.3

$- 1$ を $- 3 t$ で因数分解します。

$\frac{- (3 t) + 8}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 23.4

$8$ を $- 1 (- 8)$ に書き換えます。

$\frac{- (3 t) - 1 (- 8)}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 23.5

$- 1$ を $- (3 t) - 1 (- 8)$ で因数分解します。

$\frac{- (3 t - 8)}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 23.6

$- (3 t - 8)$ を $- 1 (3 t - 8)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (3 t - 8)}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 23.7

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3 t - 8}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

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