微分積分例

$\ln (x^{2} - 1) = 3$

ステップ 1

$x$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (x^{2} - 1)} = e^{3}$

ステップ 2

対数の定義を利用して $\ln (x^{2} - 1) = 3$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{3} = x^{2} - 1$

ステップ 3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $x^{2} - 1 = e^{3}$ として書き換えます。

$x^{2} - 1 = e^{3}$

ステップ 3.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x^{2} = e^{3} + 1$

ステップ 3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{e^{3} + 1}$

ステップ 3.4

$\pm \sqrt{e^{3} + 1}$ を簡約します。

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ステップ 3.4.1

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{e^{3} + 1^{3}}$

ステップ 3.4.2

両項とも完全立方なので、立方の和の公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = e$ であり、 $b = 1$ です。

$x = \pm \sqrt{(e + 1) (e^{2} - e \cdot 1 + 1^{2})}$

ステップ 3.4.3

簡約します。

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ステップ 3.4.3.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$x = \pm \sqrt{(e + 1) (e^{2} - e + 1^{2})}$

ステップ 3.4.3.2

1のすべての数の累乗は1です。

$x = \pm \sqrt{(e + 1) (e^{2} - e + 1)}$

ステップ 3.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \sqrt{(e + 1) (e^{2} - e + 1)}$

ステップ 3.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \sqrt{(e + 1) (e^{2} - e + 1)}$

ステップ 3.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \sqrt{(e + 1) (e^{2} - e + 1)}, - \sqrt{(e + 1) (e^{2} - e + 1)}$

ステップ 4

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = \sqrt{(e + 1) (e^{2} - e + 1)}, - \sqrt{(e + 1) (e^{2} - e + 1)}$

10進法形式：

$x = 4.59189905 \dots, - 4.59189905 \dots$

微分積分 例

微分積分例