微分積分例

$y = \frac{1}{2} x^{2}$ , $y = - x^{2} + 6$

ステップ 1

代入で解き曲線間の交点を求めます。

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ステップ 1.1

各方程式の等辺を消去し、組み合わせます。

$\frac{1}{2} x^{2} = - x^{2} + 6$

ステップ 1.2

$x$ について $\frac{1}{2} x^{2} = - x^{2} + 6$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

$\frac{1}{2} x^{2}$ を簡約します。

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ステップ 1.2.1.1

書き換えます。

$0 + 0 + \frac{1}{2} x^{2} = - x^{2} + 6$

ステップ 1.2.1.2

0を加えて簡約します。

$\frac{1}{2} x^{2} = - x^{2} + 6$

ステップ 1.2.1.3

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{x^{2}}{2} = - x^{2} + 6$

ステップ 1.2.2

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 1.2.2.1

方程式の両辺に $x^{2}$ を足します。

$\frac{x^{2}}{2} + x^{2} = 6$

ステップ 1.2.2.2

$x^{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{x^{2}}{2} + x^{2} \cdot \frac{2}{2} = 6$

ステップ 1.2.2.3

$x^{2}$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{2} \cdot 2}{2} = 6$

ステップ 1.2.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x^{2} + x^{2} \cdot 2}{2} = 6$

ステップ 1.2.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 1.2.2.5.1

$2$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x^{2}}{2} = 6$

ステップ 1.2.2.5.2

$x^{2}$ と $2 x^{2}$ をたし算します。

$\frac{3 x^{2}}{2} = 6$

ステップ 1.2.3

方程式の両辺に $\frac{2}{3}$ を掛けます。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{2}}{2} = \frac{2}{3} \cdot 6$

ステップ 1.2.4

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 1.2.4.1

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.4.1.1

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{2}}{2}$ を簡約します。

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ステップ 1.2.4.1.1.1

まとめる。

$\frac{2 (3 x^{2})}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3} \cdot 6$

ステップ 1.2.4.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.4.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 (3 x^{2})}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3} \cdot 6$

ステップ 1.2.4.1.1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{2}{3} \cdot 6$

ステップ 1.2.4.1.1.3

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.4.1.1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{2}{3} \cdot 6$

ステップ 1.2.4.1.1.3.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{2}{3} \cdot 6$

ステップ 1.2.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1

$\frac{2}{3} \cdot 6$ を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.4.2.1.1.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$x^{2} = \frac{2}{3} \cdot (3 (2))$

ステップ 1.2.4.2.1.1.2

共通因数を約分します。

$x^{2} = \frac{2}{3} \cdot (3 \cdot 2)$

ステップ 1.2.4.2.1.1.3

式を書き換えます。

$x^{2} = 2 \cdot 2$

ステップ 1.2.4.2.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$x^{2} = 4$

ステップ 1.2.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

ステップ 1.2.6

$\pm \sqrt{4}$ を簡約します。

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ステップ 1.2.6.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

ステップ 1.2.6.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 2$

ステップ 1.2.7

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 1.2.7.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 2$

ステップ 1.2.7.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 2$

ステップ 1.2.7.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 2, - 2$

ステップ 1.3

$x = 2$ のとき、 $y$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$2$ を $x$ に代入します。

$y = - {(2)}^{2} + 6$

ステップ 1.3.2

$y = - {(2)}^{2} + 6$ の $2$ を $x$ に代入して $y$ を解きます。

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ステップ 1.3.2.1

括弧を削除します。

$y = - 2^{2} + 6$

ステップ 1.3.2.2

$- 2^{2} + 6$ を簡約します。

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ステップ 1.3.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.2.2.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$y = - 1 \cdot 4 + 6$

ステップ 1.3.2.2.1.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$y = - 4 + 6$

ステップ 1.3.2.2.2

$- 4$ と $6$ をたし算します。

$y = 2$

ステップ 1.4

式の解は、有効な解である順序対の完全集合です。

$(2, 2)$

$(- 2, 2)$

$(2, 2)$

$(- 2, 2)$

ステップ 2

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$y = \frac{x^{2}}{2}$

ステップ 3

曲線間の領域の面積は、各領域における上の曲線の積分から下の曲線の積分を差し引いたものとして定義されます。領域は、曲線の交点で決定します。これは、代数計算またはグラフで行うことができます。

$A r e a = \int_{- 2}^{2} - x^{2} + 6 d x - \int_{- 2}^{2} \frac{x^{2}}{2} d x$

ステップ 4

積分し、 $- 2$ と $2$ の間の面積を求めます。

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ステップ 4.1

積分を1つにまとめます。

$\int_{- 2}^{2} - x^{2} + 6 - (\frac{x^{2}}{2}) d x$

ステップ 4.2

$- x^{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\int_{- 2}^{2} - x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + 6 d x$

ステップ 4.3

項を簡約します。

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ステップ 4.3.1

$- x^{2}$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{- x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + 6$

ステップ 4.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2} + 6$

$\int_{- 2}^{2} \frac{- x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2} + 6 d x$

ステップ 4.4

各項を簡約します。

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ステップ 4.4.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.4.1.1

$x^{2}$ を $- x^{2} \cdot 2 - x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 4.4.1.1.1

$x^{2}$ を $- x^{2} \cdot 2$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} (- 1 \cdot 2) - x^{2}}{2} + 6$

ステップ 4.4.1.1.2

$x^{2}$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} (- 1 \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1}{2} + 6$

ステップ 4.4.1.1.3

$x^{2}$ を $x^{2} (- 1 \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} (- 1 \cdot 2 - 1)}{2} + 6$

ステップ 4.4.1.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{x^{2} (- 2 - 1)}{2} + 6$

ステップ 4.4.1.3

$- 2$ から $1$ を引きます。

$\frac{x^{2} \cdot - 3}{2} + 6$

ステップ 4.4.2

$- 3$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{- 3 \cdot x^{2}}{2} + 6$

ステップ 4.4.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3 x^{2}}{2} + 6$

$\int_{- 2}^{2} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 d x$

ステップ 4.5

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{- 2}^{2} - \frac{3 x^{2}}{2} d x + \int_{- 2}^{2} 6 d x$

ステップ 4.6

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int_{- 2}^{2} \frac{3 x^{2}}{2} d x + \int_{- 2}^{2} 6 d x$

ステップ 4.7

$\frac{3}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{3}{2}$ を積分の外に移動させます。

$- (\frac{3}{2} \int_{- 2}^{2} x^{2} d x) + \int_{- 2}^{2} 6 d x$

ステップ 4.8

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$- \frac{3}{2} \frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{2} + \int_{- 2}^{2} 6 d x$

ステップ 4.9

定数の法則を当てはめます。

$- \frac{3}{2} \frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{2} + 6 x]_{- 2}^{2}$

ステップ 4.10

代入し簡約します。

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ステップ 4.10.1

$2$ および $- 2$ で $\frac{1}{3} x^{3}$ の値を求めます。

$- \frac{3}{2} ((\frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3}) + 6 x]_{- 2}^{2}$

ステップ 4.10.2

$2$ および $- 2$ で $6 x$ の値を求めます。

$- \frac{3}{2} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3}) + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

ステップ 4.10.3

簡約します。

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ステップ 4.10.3.1

$2$ を $3$ 乗します。

$- \frac{3}{2} (\frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3}) + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

ステップ 4.10.3.2

$\frac{1}{3}$ と $8$ をまとめます。

$- \frac{3}{2} (\frac{8}{3} - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3}) + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

ステップ 4.10.3.3

$- 2$ を $3$ 乗します。

$- \frac{3}{2} (\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 8) + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

ステップ 4.10.3.4

$- 8$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{3}{2} (\frac{8}{3} + 8 (\frac{1}{3})) + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

ステップ 4.10.3.5

$8$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$- \frac{3}{2} (\frac{8}{3} + \frac{8}{3}) + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

ステップ 4.10.3.6

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{8 + 8}{3} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

ステップ 4.10.3.7

$8$ と $8$ をたし算します。

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{16}{3} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

ステップ 4.10.3.8

$\frac{16}{3}$ に $\frac{3}{2}$ をかけます。

$- \frac{16 \cdot 3}{3 \cdot 2} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

ステップ 4.10.3.9

$16$ に $3$ をかけます。

$- \frac{48}{3 \cdot 2} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

ステップ 4.10.3.10

$3$ に $2$ をかけます。

$- \frac{48}{6} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

ステップ 4.10.3.11

$48$ と $6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.10.3.11.1

$6$ を $48$ で因数分解します。

$- \frac{6 \cdot 8}{6} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

ステップ 4.10.3.11.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.10.3.11.2.1

$6$ を $6$ で因数分解します。

$- \frac{6 \cdot 8}{6 (1)} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

ステップ 4.10.3.11.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{6 \cdot 8}{6 \cdot 1} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

ステップ 4.10.3.11.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{8}{1} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

ステップ 4.10.3.11.2.4

$8$ を $1$ で割ります。

$- 1 \cdot 8 + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

ステップ 4.10.3.12

$- 1$ に $8$ をかけます。

$- 8 + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

ステップ 4.10.3.13

$6$ に $2$ をかけます。

$- 8 + 12 - 6 \cdot - 2$

ステップ 4.10.3.14

$- 6$ に $- 2$ をかけます。

$- 8 + 12 + 12$

ステップ 4.10.3.15

$12$ と $12$ をたし算します。

$- 8 + 24$

ステップ 4.10.3.16

$- 8$ と $24$ をたし算します。

$16$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例