微分積分例

$y = x$ , $y = \sqrt[4]{x}$

ステップ 1

代入で解き曲線間の交点を求めます。

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ステップ 1.1

各方程式の等辺を消去し、組み合わせます。

$x = \sqrt[4]{x}$

ステップ 1.2

$x$ について $x = \sqrt[4]{x}$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

根号が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$\sqrt[4]{x} = x$

ステップ 1.2.2

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を $4$ 乗します。

${\sqrt[4]{x}}^{4} = x^{4}$

ステップ 1.2.3

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[4]{x}$ を $x^{\frac{1}{4}}$ に書き換えます。

${(x^{\frac{1}{4}})}^{4} = x^{4}$

ステップ 1.2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.1

${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.1.1

${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.2.3.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = x^{4}$

ステップ 1.2.3.2.1.1.2

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = x^{4}$

ステップ 1.2.3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$x^{1} = x^{4}$

ステップ 1.2.3.2.1.2

簡約します。

$x = x^{4}$

ステップ 1.2.4

$x$ について解きます。

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ステップ 1.2.4.1

方程式の両辺から $x^{4}$ を引きます。

$x - x^{4} = 0$

ステップ 1.2.4.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 1.2.4.2.1

$x$ を $x - x^{4}$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.4.2.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$x - x^{4} = 0$

ステップ 1.2.4.2.1.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$x \cdot 1 - x^{4} = 0$

ステップ 1.2.4.2.1.3

$x$ を $- x^{4}$ で因数分解します。

$x \cdot 1 + x (- x^{3}) = 0$

ステップ 1.2.4.2.1.4

$x$ を $x \cdot 1 + x (- x^{3})$ で因数分解します。

$x (1 - x^{3}) = 0$

ステップ 1.2.4.2.2

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

$x (1^{3} - x^{3}) = 0$

ステップ 1.2.4.2.3

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = x$ です。

$x ((1 - x) (1^{2} + 1 x + x^{2})) = 0$

ステップ 1.2.4.2.4

因数分解。

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ステップ 1.2.4.2.4.1

簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.4.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$x ((1 - x) (1 + 1 x + x^{2})) = 0$

ステップ 1.2.4.2.4.1.2

$x$ に $1$ をかけます。

$x ((1 - x) (1 + x + x^{2})) = 0$

ステップ 1.2.4.2.4.2

不要な括弧を削除します。

$x (1 - x) (1 + x + x^{2}) = 0$

ステップ 1.2.4.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$1 - x = 0$

$1 + x + x^{2} = 0 + y = \sqrt[4]{x}$

ステップ 1.2.4.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 1.2.4.5

$1 - x$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.4.5.1

$1 - x$ が $0$ に等しいとします。

$1 - x = 0$

ステップ 1.2.4.5.2

$x$ について $1 - x = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.4.5.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- x = - 1$

ステップ 1.2.4.5.2.2

$- x = - 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.4.5.2.2.1

$- x = - 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 1.2.4.5.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.4.5.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 1.2.4.5.2.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 1.2.4.5.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.4.5.2.2.3.1

$- 1$ を $- 1$ で割ります。

$x = 1$

ステップ 1.2.4.6

$1 + x + x^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.4.6.1

$1 + x + x^{2}$ が $0$ に等しいとします。

$1 + x + x^{2} = 0$

ステップ 1.2.4.6.2

$x$ について $1 + x + x^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.4.6.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = \sqrt[4]{x}$

ステップ 1.2.4.6.2.2

$a = 1$ 、 $b = 1$ 、および $c = 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1} + y = \sqrt[4]{x}$

ステップ 1.2.4.6.2.3

簡約します。

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ステップ 1.2.4.6.2.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 1.2.4.6.2.3.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.4.6.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.6.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.4.6.2.3.1.2.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.4.6.2.3.1.3

$1$ から $4$ を引きます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.4.6.2.3.1.4

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.4.6.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (3)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.4.6.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.4.6.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 1.2.4.6.2.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 1.2.4.6.2.4.1

分子を簡約します。

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ステップ 1.2.4.6.2.4.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.4.6.2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.6.2.4.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.4.6.2.4.1.2.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.4.6.2.4.1.3

$1$ から $4$ を引きます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.4.6.2.4.1.4

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.4.6.2.4.1.5

$\sqrt{- 1 (3)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.4.6.2.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.4.6.2.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 1.2.4.6.2.4.3

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 1.2.4.6.2.4.4

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 1.2.4.6.2.4.5

$- 1$ を $i \sqrt{3}$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{2}$

ステップ 1.2.4.6.2.4.6

$- 1$ を $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{2}$

ステップ 1.2.4.6.2.4.7

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 1.2.4.6.2.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 1.2.4.6.2.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.6.2.5.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.4.6.2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.6.2.5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.4.6.2.5.1.2.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.4.6.2.5.1.3

$1$ から $4$ を引きます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.4.6.2.5.1.4

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.4.6.2.5.1.5

$\sqrt{- 1 (3)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.4.6.2.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.4.6.2.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 1.2.4.6.2.5.3

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 1.2.4.6.2.5.4

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 1.2.4.6.2.5.5

$- 1$ を $- i \sqrt{3}$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{2}$

ステップ 1.2.4.6.2.5.6

$- 1$ を $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{2}$

ステップ 1.2.4.6.2.5.7

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 1.2.4.6.2.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 1.2.4.7

最終解は $x (1 - x) (1 + x + x^{2}) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 1.3

$x = 0$ のとき、 $y$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$0$ を $x$ に代入します。

$y = \sqrt[4]{0}$

ステップ 1.3.2

$\sqrt[4]{0}$ を簡約します。

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ステップ 1.3.2.1

括弧を削除します。

$y = \sqrt[4]{0}$

ステップ 1.3.2.2

$0$ を $0^{4}$ に書き換えます。

$y = \sqrt[4]{0^{4}}$

ステップ 1.3.2.3

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$y = 0$

ステップ 1.4

$x = 1$ のとき、 $y$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$1$ を $x$ に代入します。

$y = \sqrt[4]{1}$

ステップ 1.4.2

$\sqrt[4]{1}$ を簡約します。

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ステップ 1.4.2.1

括弧を削除します。

$y = \sqrt[4]{1}$

ステップ 1.4.2.2

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$y = 1$

ステップ 1.5

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$ のとき、 $y$ の値を求めます。

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ステップ 1.5.1

$- \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$ を $x$ に代入します。

$y = \sqrt[4]{- \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}}$

ステップ 1.5.2

括弧を削除します。

$y = \sqrt[4]{- \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}}$

ステップ 1.6

$x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$ のとき、 $y$ の値を求めます。

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ステップ 1.6.1

$- \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$ を $x$ に代入します。

$y = \sqrt[4]{- \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}}$

ステップ 1.6.2

括弧を削除します。

$y = \sqrt[4]{- \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}}$

ステップ 1.7

すべての解をまとめます。

$y = 0, x = 0$

$y = 1, x = 1$

$y = \sqrt[4]{- \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}}, x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

$y = \sqrt[4]{- \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}}, x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

$y = 0, x = 0$

$y = 1, x = 1$

$y = \sqrt[4]{- \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}}, x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

$y = \sqrt[4]{- \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}}, x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2

与えられた曲線間の面積は非有界です。

有界でない面積

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例