微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{2 + x} - \sqrt{2}}{x}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{2 + x} - \sqrt{2}}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

極限を求めます。

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ステップ 1.1.2.1.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{2 + x} - lim_{x \to 0} \sqrt{2}}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.1.2

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} 2 + x} - lim_{x \to 0} \sqrt{2}}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.1.3

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} 2 + lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} \sqrt{2}}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.1.4

$x$ が $0$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{2 + lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} \sqrt{2}}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.1.5

$x$ が $0$ に近づくと定数である $\sqrt{2}$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{2 + lim_{x \to 0} x} - \sqrt{2}}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{2 + 0} - \sqrt{2}}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.3.2

$\sqrt{2}$ から $\sqrt{2}$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{2 + x} - \sqrt{2}}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{2 + x} - \sqrt{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{2 + x} - \sqrt{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $\sqrt{2 + x} - \sqrt{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sqrt{2 + x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{2 + x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.3

$\frac{d}{d x} [\sqrt{2 + x}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2 + x}$ を ${(2 + x)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.3.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 2 + x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.3.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 + x$ とします。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 + x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.3.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 + x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.3.2.3

$u$ のすべての発生を $2 + x$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 + x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.3.3

総和則では、 $2 + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.3.4

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.3.6

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.3.7

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.3.8

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.3.9

分子を簡約します。

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ステップ 1.3.3.9.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.3.9.2

$1$ から $2$ を引きます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.3.10

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.3.11

$0$ と $1$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.3.12

$\frac{1}{2}$ と ${(2 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(2 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.3.13

$\frac{{(2 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(2 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.3.14

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(2 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(2 + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.4

$- \sqrt{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- \sqrt{2}$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(2 + x)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.5

$\frac{1}{2 {(2 + x)}^{\frac{1}{2}}}$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(2 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(2 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

ステップ 1.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 {(2 + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

ステップ 1.5

${(2 + x)}^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{2 + x}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{2 + x}} \cdot 1$

ステップ 1.6

$\frac{1}{2 \sqrt{2 + x}}$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{2 + x}}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{2}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{2 + x}}$

ステップ 2.2

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sqrt{2 + x}}$

ステップ 2.3

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} \sqrt{2 + x}}$

ステップ 2.4

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 2 + x}}$

ステップ 2.5

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 2 + lim_{x \to 0} x}}$

ステップ 2.6

$x$ が $0$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2 + lim_{x \to 0} x}}$

ステップ 3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2 + 0}}$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}$

ステップ 4.2

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

ステップ 4.3

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 4.3.1

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 4.3.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

ステップ 4.3.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

ステップ 4.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

ステップ 4.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 4.3.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 4.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 4.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 4.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.3.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

ステップ 4.3.6.5

指数を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 4.4

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ を掛けます。

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ステップ 4.4.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.4.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{\sqrt{2}}{4}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{\sqrt{2}}{4}$

10進法形式：

$0.35355339 \dots$

微分積分 例

微分積分例