微分積分例

$lim_{x \to - 9} \frac{x^{2} - 81}{x + 9}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to - 9} x^{2} - 81}{lim_{x \to - 9} x + 9}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.1

$x$ が $- 9$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to - 9} x^{2} - lim_{x \to - 9} 81}{lim_{x \to - 9} x + 9}$

ステップ 1.1.2.1.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to - 9} x)}^{2} - lim_{x \to - 9} 81}{lim_{x \to - 9} x + 9}$

ステップ 1.1.2.1.3

$x$ が $- 9$ に近づくと定数である $81$ の極限値を求めます。

$\frac{{(lim_{x \to - 9} x)}^{2} - 1 \cdot 81}{lim_{x \to - 9} x + 9}$

ステップ 1.1.2.2

$x$ を $- 9$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{{(- 9)}^{2} - 1 \cdot 81}{lim_{x \to - 9} x + 9}$

ステップ 1.1.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1.1

$- 9$ を $2$ 乗します。

$\frac{81 - 1 \cdot 81}{lim_{x \to - 9} x + 9}$

ステップ 1.1.2.3.1.2

$- 1$ に $81$ をかけます。

$\frac{81 - 81}{lim_{x \to - 9} x + 9}$

ステップ 1.1.2.3.2

$81$ から $81$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to - 9} x + 9}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1.1

$x$ が $- 9$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to - 9} x + lim_{x \to - 9} 9}$

ステップ 1.1.3.1.2

$x$ が $- 9$ に近づくと定数である $9$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{lim_{x \to - 9} x + 9}$

ステップ 1.1.3.2

$x$ を $- 9$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{- 9 + 9}$

ステップ 1.1.3.3

$- 9$ と $9$ をたし算します。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to - 9} \frac{x^{2} - 81}{x + 9} = lim_{x \to - 9} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 81]}{\frac{d}{d x} [x + 9]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to - 9} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 81]}{\frac{d}{d x} [x + 9]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $x^{2} - 81$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 81]$ です。

$lim_{x \to - 9} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 81]}{\frac{d}{d x} [x + 9]}$

ステップ 1.3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to - 9} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 81]}{\frac{d}{d x} [x + 9]}$

ステップ 1.3.4

$- 81$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 81$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to - 9} \frac{2 x + 0}{\frac{d}{d x} [x + 9]}$

ステップ 1.3.5

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to - 9} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x + 9]}$

ステップ 1.3.6

総和則では、 $x + 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ です。

$lim_{x \to - 9} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]}$

ステップ 1.3.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to - 9} \frac{2 x}{1 + \frac{d}{d x} [9]}$

ステップ 1.3.8

$9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to - 9} \frac{2 x}{1 + 0}$

ステップ 1.3.9

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to - 9} \frac{2 x}{1}$

ステップ 1.4

$2 x$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to - 9} 2 x$

ステップ 2

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 lim_{x \to - 9} x$

ステップ 3

$x$ を $- 9$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$2 \cdot - 9$

ステップ 4

$2$ に $- 9$ をかけます。

$- 18$

微分積分 例

微分積分例