微分積分例

$lim_{x \to 9} \frac{3 - \sqrt{x}}{9 x - x^{2}}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 9} 3 - \sqrt{x}}{lim_{x \to 9} 9 x - x^{2}}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.1

$x$ が $9$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 9} 3 - lim_{x \to 9} \sqrt{x}}{lim_{x \to 9} 9 x - x^{2}}$

ステップ 1.1.2.1.2

$x$ が $9$ に近づくと定数である $3$ の極限値を求めます。

$\frac{3 - lim_{x \to 9} \sqrt{x}}{lim_{x \to 9} 9 x - x^{2}}$

ステップ 1.1.2.1.3

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{3 - \sqrt{lim_{x \to 9} x}}{lim_{x \to 9} 9 x - x^{2}}$

ステップ 1.1.2.2

$x$ を $9$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{3 - \sqrt{9}}{lim_{x \to 9} 9 x - x^{2}}$

ステップ 1.1.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{3 - \sqrt{3^{2}}}{lim_{x \to 9} 9 x - x^{2}}$

ステップ 1.1.2.3.1.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{3 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 9} 9 x - x^{2}}$

ステップ 1.1.2.3.1.3

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{3 - 3}{lim_{x \to 9} 9 x - x^{2}}$

ステップ 1.1.2.3.2

$3$ から $3$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 9} 9 x - x^{2}}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$x$ が $9$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 9} 9 x - lim_{x \to 9} x^{2}}$

ステップ 1.1.3.2

$9$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{9 lim_{x \to 9} x - lim_{x \to 9} x^{2}}$

ステップ 1.1.3.3

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{9 lim_{x \to 9} x - {(lim_{x \to 9} x)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.4

すべての $x$ に $9$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 1.1.3.4.1

$x$ を $9$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{9 \cdot 9 - {(lim_{x \to 9} x)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.4.2

$x$ を $9$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{9 \cdot 9 - 9^{2}}$

ステップ 1.1.3.5

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.5.1.1

$9$ に $9$ をかけます。

$\frac{0}{81 - 9^{2}}$

ステップ 1.1.3.5.1.2

$9$ を $2$ 乗します。

$\frac{0}{81 - 1 \cdot 81}$

ステップ 1.1.3.5.1.3

$- 1$ に $81$ をかけます。

$\frac{0}{81 - 81}$

ステップ 1.1.3.5.2

$81$ から $81$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.5.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.6

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 9} \frac{3 - \sqrt{x}}{9 x - x^{2}} = lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [3 - \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [9 x - x^{2}]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [3 - \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [9 x - x^{2}]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $3 - \sqrt{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ です。

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [9 x - x^{2}]}$

ステップ 1.3.3

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 9} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [9 x - x^{2}]}$

ステップ 1.3.4

$\frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 9} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [9 x - x^{2}]}$

ステップ 1.3.4.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ です。

$lim_{x \to 9} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [9 x - x^{2}]}$

ステップ 1.3.4.3

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 9} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{\frac{d}{d x} [9 x - x^{2}]}$

ステップ 1.3.4.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$lim_{x \to 9} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{\frac{d}{d x} [9 x - x^{2}]}$

ステップ 1.3.4.5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$lim_{x \to 9} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [9 x - x^{2}]}$

ステップ 1.3.4.6

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 9} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [9 x - x^{2}]}$

ステップ 1.3.4.7

分子を簡約します。

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ステップ 1.3.4.7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to 9} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [9 x - x^{2}]}$

ステップ 1.3.4.7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$lim_{x \to 9} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{\frac{d}{d x} [9 x - x^{2}]}$

ステップ 1.3.4.8

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{x \to 9} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{\frac{d}{d x} [9 x - x^{2}]}$

ステップ 1.3.4.9

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$lim_{x \to 9} \frac{0 - \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [9 x - x^{2}]}$

ステップ 1.3.4.10

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$lim_{x \to 9} \frac{0 - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [9 x - x^{2}]}$

ステップ 1.3.5

$0$ から $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ を引きます。

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [9 x - x^{2}]}$

ステップ 1.3.6

総和則では、 $9 x - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

ステップ 1.3.7

$\frac{d}{d x} [9 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.7.1

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $9 x$ の微分係数は $9 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

ステップ 1.3.7.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

ステップ 1.3.7.3

$9$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{9 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

ステップ 1.3.8

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.8.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{9 - \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.8.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{9 - (2 x)}$

ステップ 1.3.8.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{9 - 2 x}$

ステップ 1.3.9

項を並べ替えます。

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{- 2 x + 9}$

ステップ 1.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to 9} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{- 2 x + 9}$

ステップ 1.5

$x^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{x}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 9} - \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{1}{- 2 x + 9}$

ステップ 1.6

$\frac{1}{- 2 x + 9}$ に $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ をかけます。

$lim_{x \to 9} - \frac{1}{(- 2 x + 9) (2 \sqrt{x})}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$- 1$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- lim_{x \to 9} \frac{1}{(- 2 x + 9) (2 \sqrt{x})}$

ステップ 2.2

$\frac{1}{2}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- \frac{1}{2} lim_{x \to 9} \frac{1}{(- 2 x + 9) (\sqrt{x})}$

ステップ 2.3

$x$ が $9$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 9} 1}{lim_{x \to 9} (- 2 x + 9) (\sqrt{x})}$

ステップ 2.4

$x$ が $9$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 9} (- 2 x + 9) (\sqrt{x})}$

ステップ 2.5

$x$ が $9$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 9} - 2 x + 9 \cdot lim_{x \to 9} \sqrt{x}}$

ステップ 2.6

$x$ が $9$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(- lim_{x \to 9} 2 x + lim_{x \to 9} 9) \cdot lim_{x \to 9} \sqrt{x}}$

ステップ 2.7

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(- 2 lim_{x \to 9} x + lim_{x \to 9} 9) \cdot lim_{x \to 9} \sqrt{x}}$

ステップ 2.8

$x$ が $9$ に近づくと定数である $9$ の極限値を求めます。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(- 2 lim_{x \to 9} x + 9) \cdot lim_{x \to 9} \sqrt{x}}$

ステップ 2.9

根号の下に極限を移動させます。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(- 2 lim_{x \to 9} x + 9) \cdot \sqrt{lim_{x \to 9} x}}$

ステップ 3

すべての $x$ に $9$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$x$ を $9$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(- 2 \cdot 9 + 9) \cdot \sqrt{lim_{x \to 9} x}}$

ステップ 3.2

$x$ を $9$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(- 2 \cdot 9 + 9) \cdot \sqrt{9}}$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$- 2$ に $9$ をかけます。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(- 18 + 9) \sqrt{9}}$

ステップ 4.1.2

$- 18$ と $9$ をたし算します。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{- 9 \sqrt{9}}$

ステップ 4.1.3

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{- 9 \sqrt{3^{2}}}$

ステップ 4.1.4

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{- 9 \cdot 3}$

ステップ 4.2

$- 9$ に $3$ をかけます。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{- 27}$

ステップ 4.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{2} (- \frac{1}{27})$

ステップ 4.4

$- \frac{1}{2} (- \frac{1}{27})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{27}$

ステップ 4.4.2

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{27}$

ステップ 4.4.3

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{27}$ をかけます。

$\frac{1}{2 \cdot 27}$

ステップ 4.4.4

$2$ に $27$ をかけます。

$\frac{1}{54}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1}{54}$

10進法形式：

$0.0\overline{185}$

微分積分 例

微分積分例