微分積分例

$x y + x + y = x^{2} y^{2}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (x y + x + y) = \frac{d}{d x} (x^{2} y^{2})$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $x y + x + y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ です。

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [x y]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$f (x) = x$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.2.4

$y$ に $1$ をかけます。

$x y' + y + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x y' + y + 1 + \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.4

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$x y' + y + 1 + y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.3

$2$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$2 \cdot x^{2} y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.4

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$2 x^{2} y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x^{2} y y' + y^{2} (2 x)$

ステップ 3.6

$2$ を $y^{2}$ の左に移動させます。

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$x y' + y + 1 + y' = 2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式の両辺から $2 x^{2} y y'$ を引きます。

$x y' + y + 1 + y' - 2 x^{2} y y' = 2 y^{2} x$

ステップ 5.2

$y'$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 5.2.1

方程式の両辺から $y$ を引きます。

$x y' + 1 + y' - 2 x^{2} y y' = 2 y^{2} x - y$

ステップ 5.2.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x y' + y' - 2 x^{2} y y' = 2 y^{2} x - y - 1$

ステップ 5.3

$y'$ を $x y' + y' - 2 x^{2} y y'$ で因数分解します。

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ステップ 5.3.1

$y'$ を $x y'$ で因数分解します。

$y' x + y' - 2 x^{2} y y' = 2 y^{2} x - y - 1$

ステップ 5.3.2

$y'$ を $1$ 乗します。

$y' x + y' - 2 x^{2} y y' = 2 y^{2} x - y - 1$

ステップ 5.3.3

$y'$ を ${y'}^{1}$ で因数分解します。

$y' x + y' \cdot 1 - 2 x^{2} y y' = 2 y^{2} x - y - 1$

ステップ 5.3.4

$y'$ を $- 2 x^{2} y y'$ で因数分解します。

$y' (x) + y' \cdot 1 + y' (- 2 x^{2} y) = 2 y^{2} x - y - 1$

ステップ 5.3.5

$y'$ を $y' x + y' \cdot 1$ で因数分解します。

$y' (x + 1) + y' (- 2 x^{2} y) = 2 y^{2} x - y - 1$

ステップ 5.3.6

$y'$ を $y' (x + 1) + y' (- 2 x^{2} y)$ で因数分解します。

$y' (x + 1 - 2 x^{2} y) = 2 y^{2} x - y - 1$

ステップ 5.4

$y' (x + 1 - 2 x^{2} y) = 2 y^{2} x - y - 1$ の各項を $x + 1 - 2 x^{2} y$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.4.1

$y' (x + 1 - 2 x^{2} y) = 2 y^{2} x - y - 1$ の各項を $x + 1 - 2 x^{2} y$ で割ります。

$\frac{y' (x + 1 - 2 x^{2} y)}{x + 1 - 2 x^{2} y} = \frac{2 y^{2} x}{x + 1 - 2 x^{2} y} + \frac{- y}{x + 1 - 2 x^{2} y} + \frac{- 1}{x + 1 - 2 x^{2} y}$

ステップ 5.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.4.2.1

$x + 1 - 2 x^{2} y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (x + 1 - 2 x^{2} y)}{x + 1 - 2 x^{2} y} = \frac{2 y^{2} x}{x + 1 - 2 x^{2} y} + \frac{- y}{x + 1 - 2 x^{2} y} + \frac{- 1}{x + 1 - 2 x^{2} y}$

ステップ 5.4.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{2 y^{2} x}{x + 1 - 2 x^{2} y} + \frac{- y}{x + 1 - 2 x^{2} y} + \frac{- 1}{x + 1 - 2 x^{2} y}$

ステップ 5.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.4.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.4.3.1.1

分数の前に負数を移動させます。

$y' = \frac{2 y^{2} x}{x + 1 - 2 x^{2} y} - \frac{y}{x + 1 - 2 x^{2} y} + \frac{- 1}{x + 1 - 2 x^{2} y}$

ステップ 5.4.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = \frac{2 y^{2} x}{x + 1 - 2 x^{2} y} - \frac{y}{x + 1 - 2 x^{2} y} - \frac{1}{x + 1 - 2 x^{2} y}$

ステップ 5.4.3.2

1つの分数にまとめます。

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ステップ 5.4.3.2.1

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{2 y^{2} x - y}{x + 1 - 2 x^{2} y} - \frac{1}{x + 1 - 2 x^{2} y}$

ステップ 5.4.3.2.2

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{2 y^{2} x - y - 1}{x + 1 - 2 x^{2} y}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2} x - y - 1}{x + 1 - 2 x^{2} y}$

微分積分 例

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