微分積分例

$\int {(e^{t} + 1)}^{2} d t$

ステップ 1

簡約します。

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ステップ 1.1

${(e^{t} + 1)}^{2}$ を $(e^{t} + 1) (e^{t} + 1)$ に書き換えます。

$\int (e^{t} + 1) (e^{t} + 1) d t$

ステップ 1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(e^{t} + 1) (e^{t} + 1)$ を展開します。

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ステップ 1.2.1

分配則を当てはめます。

$\int e^{t} (e^{t} + 1) + 1 (e^{t} + 1) d t$

ステップ 1.2.2

分配則を当てはめます。

$\int e^{t} e^{t} + e^{t} \cdot 1 + 1 (e^{t} + 1) d t$

ステップ 1.2.3

分配則を当てはめます。

$\int e^{t} e^{t} + e^{t} \cdot 1 + 1 e^{t} + 1 \cdot 1 d t$

ステップ 1.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.1.1

指数を足して $e^{t}$ に $e^{t}$ を掛けます。

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ステップ 1.3.1.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int e^{t + t} + e^{t} \cdot 1 + 1 e^{t} + 1 \cdot 1 d t$

ステップ 1.3.1.1.2

$t$ と $t$ をたし算します。

$\int e^{2 t} + e^{t} \cdot 1 + 1 e^{t} + 1 \cdot 1 d t$

ステップ 1.3.1.2

$e^{t}$ に $1$ をかけます。

$\int e^{2 t} + e^{t} + 1 e^{t} + 1 \cdot 1 d t$

ステップ 1.3.1.3

$e^{t}$ に $1$ をかけます。

$\int e^{2 t} + e^{t} + e^{t} + 1 \cdot 1 d t$

ステップ 1.3.1.4

$1$ に $1$ をかけます。

$\int e^{2 t} + e^{t} + e^{t} + 1 d t$

ステップ 1.3.2

$e^{t}$ と $e^{t}$ をたし算します。

$\int e^{2 t} + 2 e^{t} + 1 d t$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int e^{2 t} d t + \int 2 e^{t} d t + \int d t$

ステップ 3

$u = 2 t$ とします。次に $d u = 2 d t$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 3.1

$u = 2 t$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

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ステップ 3.1.1

$2 t$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [2 t]$

ステップ 3.1.2

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $2 t$ の微分係数は $2 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$2 \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 3.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 3.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 3.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int e^{u} \frac{1}{2} d u + \int 2 e^{t} d t + \int d t$

ステップ 4

$e^{u}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\int \frac{e^{u}}{2} d u + \int 2 e^{t} d t + \int d t$

ステップ 5

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int e^{u} d u + \int 2 e^{t} d t + \int d t$

ステップ 6

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + \int 2 e^{t} d t + \int d t$

ステップ 7

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + 2 \int e^{t} d t + \int d t$

ステップ 8

$e^{t}$ の $t$ に関する積分は $e^{t}$ です。

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + 2 (e^{t} + C) + \int d t$

ステップ 9

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + 2 (e^{t} + C) + t + C$

ステップ 10

簡約します。

$\frac{1}{2} e^{u} + 2 e^{t} + t + C$

ステップ 11

$u$ のすべての発生を $2 t$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} e^{2 t} + 2 e^{t} + t + C$

微分積分 例

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