微分積分例

$\int_{1}^{7} \frac{\ln ({(x)}^{2})}{x^{3}} d x$

ステップ 1

$\frac{\ln (x^{2})}{x^{3}}$ を $\frac{2 \ln (x)}{x^{3}}$ に書き換えます。

$\int_{1}^{7} \frac{2 \ln (x)}{x^{3}} d x$

ステップ 2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int_{1}^{7} \frac{\ln (x)}{x^{3}} d x$

ステップ 3

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$x^{3}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$2 \int_{1}^{7} \ln (x) {(x^{3})}^{- 1} d x$

ステップ 3.2

${(x^{3})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2 \int_{1}^{7} \ln (x) x^{3 \cdot - 1} d x$

ステップ 3.2.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$2 \int_{1}^{7} \ln (x) x^{- 3} d x$

ステップ 4

$u = \ln (x)$ と $d v = x^{- 3}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$2 (\ln (x) (- \frac{1}{2 x^{2}})]_{1}^{7} - \int_{1}^{7} - \frac{1}{2 x^{2}} \cdot \frac{1}{x} d x)$

ステップ 5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$\ln (x)$ と $\frac{1}{2 x^{2}}$ をまとめます。

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} - \int_{1}^{7} - \frac{1}{2 x^{2}} \cdot \frac{1}{x} d x)$

ステップ 5.2

$\frac{1}{x}$ に $\frac{1}{2 x^{2}}$ をかけます。

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} - \int_{1}^{7} - \frac{1}{x (2 x^{2})} d x)$

ステップ 5.3

$x$ を $1$ 乗します。

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} - \int_{1}^{7} - \frac{1}{2 (x^{1} x^{2})} d x)$

ステップ 5.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} - \int_{1}^{7} - \frac{1}{2 x^{1 + 2}} d x)$

ステップ 5.5

$1$ と $2$ をたし算します。

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} - \int_{1}^{7} - \frac{1}{2 x^{3}} d x)$

ステップ 6

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} - - \int_{1}^{7} \frac{1}{2 x^{3}} d x)$

ステップ 7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + 1 \int_{1}^{7} \frac{1}{2 x^{3}} d x)$

ステップ 7.2

$\int_{1}^{7} \frac{1}{2 x^{3}} d x$ に $1$ をかけます。

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \int_{1}^{7} \frac{1}{2 x^{3}} d x)$

ステップ 8

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{1}{2} \int_{1}^{7} \frac{1}{x^{3}} d x)$

ステップ 9

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$x^{3}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{1}{2} \int_{1}^{7} {(x^{3})}^{- 1} d x)$

ステップ 9.2

${(x^{3})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{1}{2} \int_{1}^{7} x^{3 \cdot - 1} d x)$

ステップ 9.2.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{1}{2} \int_{1}^{7} x^{- 3} d x)$

ステップ 10

べき乗則では、 $x^{- 3}$ の $x$ に関する積分は $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ です。

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} x^{- 2}]_{1}^{7})$

ステップ 11

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.1

$x^{- 2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{1}{2} - \frac{x^{- 2}}{2}]_{1}^{7})$

ステップ 11.1.2

$\frac{1}{2}$ と $- \frac{x^{- 2}}{2}]_{1}^{7}$ をまとめます。

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{- \frac{x^{- 2}}{2}]_{1}^{7}}{2})$

ステップ 11.1.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 2}$ を分母に移動させます。

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{- \frac{1}{2 x^{2}}]_{1}^{7}}{2})$

ステップ 11.2

代入し簡約します。

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ステップ 11.2.1

$7$ および $1$ で $- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}$ の値を求めます。

$2 ((- \frac{\ln (7)}{2 \cdot 7^{2}}) + \frac{\ln (1)}{2 \cdot 1^{2}} + \frac{- \frac{1}{2 x^{2}}]_{1}^{7}}{2})$

ステップ 11.2.2

$7$ および $1$ で $- \frac{1}{2 x^{2}}$ の値を求めます。

$2 ((- \frac{\ln (7)}{2 \cdot 7^{2}}) + \frac{\ln (1)}{2 \cdot 1^{2}} + \frac{(- \frac{1}{2 \cdot 7^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}}{2})$

ステップ 11.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.3.1

$7$ を $2$ 乗します。

$2 (- \frac{\ln (7)}{2 \cdot 49} + \frac{\ln (1)}{2 \cdot 1^{2}} + \frac{(- \frac{1}{2 \cdot 7^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}}{2})$

ステップ 11.2.3.2

$2$ に $49$ をかけます。

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2 \cdot 1^{2}} + \frac{(- \frac{1}{2 \cdot 7^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}}{2})$

ステップ 11.2.3.3

1のすべての数の累乗は1です。

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2 \cdot 1} + \frac{(- \frac{1}{2 \cdot 7^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}}{2})$

ステップ 11.2.3.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{(- \frac{1}{2 \cdot 7^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}}{2})$

ステップ 11.2.3.5

$7$ を $2$ 乗します。

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{- \frac{1}{2 \cdot 49} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}}{2})$

ステップ 11.2.3.6

$2$ に $49$ をかけます。

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{- \frac{1}{98} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}}{2})$

ステップ 11.2.3.7

1のすべての数の累乗は1です。

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{- \frac{1}{98} + \frac{1}{2 \cdot 1}}{2})$

ステップ 11.2.3.8

$2$ に $1$ をかけます。

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{- \frac{1}{98} + \frac{1}{2}}{2})$

ステップ 11.2.3.9

$\frac{1}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{49}{49}$ を掛けます。

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{- \frac{1}{98} + \frac{1}{2} \cdot \frac{49}{49}}{2})$

ステップ 11.2.3.10

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $98$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.3.10.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{49}{49}$ をかけます。

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{- \frac{1}{98} + \frac{49}{2 \cdot 49}}{2})$

ステップ 11.2.3.10.2

$2$ に $49$ をかけます。

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{- \frac{1}{98} + \frac{49}{98}}{2})$

ステップ 11.2.3.11

公分母の分子をまとめます。

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{\frac{- 1 + 49}{98}}{2})$

ステップ 11.2.3.12

$- 1$ と $49$ をたし算します。

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{\frac{48}{98}}{2})$

ステップ 11.2.3.13

$48$ と $98$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.3.13.1

$2$ を $48$ で因数分解します。

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{\frac{2 (24)}{98}}{2})$

ステップ 11.2.3.13.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.3.13.2.1

$2$ を $98$ で因数分解します。

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{\frac{2 \cdot 24}{2 \cdot 49}}{2})$

ステップ 11.2.3.13.2.2

共通因数を約分します。

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{\frac{2 \cdot 24}{2 \cdot 49}}{2})$

ステップ 11.2.3.13.2.3

式を書き換えます。

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{\frac{24}{49}}{2})$

ステップ 11.2.3.14

$\frac{\frac{24}{49}}{2}$ を積として書き換えます。

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{24}{49} \cdot \frac{1}{2})$

ステップ 11.2.3.15

$\frac{24}{49}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{24}{49 \cdot 2})$

ステップ 11.2.3.16

$49$ に $2$ をかけます。

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{24}{98})$

ステップ 11.2.3.17

$24$ と $98$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.3.17.1

$2$ を $24$ で因数分解します。

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{2 (12)}{98})$

ステップ 11.2.3.17.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.3.17.2.1

$2$ を $98$ で因数分解します。

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 49})$

ステップ 11.2.3.17.2.2

共通因数を約分します。

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 49})$

ステップ 11.2.3.17.2.3

式を書き換えます。

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{12}{49})$

ステップ 12

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1

$1$ の自然対数は $0$ です。

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{0}{2} + \frac{12}{49})$

ステップ 12.1.2

$0$ を $2$ で割ります。

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + 0 + \frac{12}{49})$

ステップ 12.2

$- \frac{\ln (7)}{98}$ と $0$ をたし算します。

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{12}{49})$

ステップ 12.3

分配則を当てはめます。

$2 (- \frac{\ln (7)}{98}) + 2 (\frac{12}{49})$

ステップ 12.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.4.1

$- \frac{\ln (7)}{98}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$2 \frac{- \ln (7)}{98} + 2 (\frac{12}{49})$

ステップ 12.4.2

$2$ を $98$ で因数分解します。

$2 \frac{- \ln (7)}{2 (49)} + 2 (\frac{12}{49})$

ステップ 12.4.3

共通因数を約分します。

$2 \frac{- \ln (7)}{2 \cdot 49} + 2 (\frac{12}{49})$

ステップ 12.4.4

式を書き換えます。

$\frac{- \ln (7)}{49} + 2 (\frac{12}{49})$

ステップ 12.5

$2 (\frac{12}{49})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.5.1

$2$ と $\frac{12}{49}$ をまとめます。

$\frac{- \ln (7)}{49} + \frac{2 \cdot 12}{49}$

ステップ 12.5.2

$2$ に $12$ をかけます。

$\frac{- \ln (7)}{49} + \frac{24}{49}$

ステップ 12.6

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{\ln (7)}{49} + \frac{24}{49}$

ステップ 13

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{\ln (7)}{49} + \frac{24}{49}$

10進法形式：

$0.45008346 \dots$

微分積分 例

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