微分積分例

$\int \frac{5 x^{5} + 5 x^{2} + 10}{x^{3} - x} d x$

ステップ 1

$5 x^{5} + 5 x^{2} + 10$ を $x^{3} - x$ で割ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

ステップ 1.2

被除数 $5 x^{5}$ の最高次項を除数 $x^{3}$ の最高次項で割ります。

$5 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

ステップ 1.3

新しい商の項に除数を掛けます。

$5 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{5}$

$0$

$5 x^{3}$

$0$

ステップ 1.4

式は被除数から引く必要があるので、 $5 x^{5} + 0 - 5 x^{3} + 0$ の符号をすべて変更します。

$5 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{5}$

$0$

$5 x^{3}$

$0$

ステップ 1.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$5 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{5}$

$0$

$5 x^{3}$

$0$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

ステップ 1.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$5 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{5}$

$0$

$5 x^{3}$

$0$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

ステップ 1.7

被除数 $5 x^{3}$ の最高次項を除数 $x^{3}$ の最高次項で割ります。

$5 x^{2}$

$0 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{5}$

$0$

$5 x^{3}$

$0$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

ステップ 1.8

新しい商の項に除数を掛けます。

$5 x^{2}$

$0 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{5}$

$0$

$5 x^{3}$

$0$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{3}$

$0$

$5 x$

$0$

ステップ 1.9

式は被除数から引く必要があるので、 $5 x^{3} + 0 - 5 x + 0$ の符号をすべて変更します。

$5 x^{2}$

$0 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{5}$

$0$

$5 x^{3}$

$0$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{3}$

$0$

$5 x$

$0$

ステップ 1.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$5 x^{2}$

$0 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{5}$

$0$

$5 x^{3}$

$0$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{3}$

$0$

$5 x$

$0$

$5 x^{2}$

$5 x$

$10$

ステップ 1.11

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$\int 5 x^{2} + 5 + \frac{5 x^{2} + 5 x + 10}{x^{3} - x} d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int 5 x^{2} d x + \int 5 d x + \int \frac{5 x^{2} + 5 x + 10}{x^{3} - x} d x$

ステップ 3

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$5 \int x^{2} d x + \int 5 d x + \int \frac{5 x^{2} + 5 x + 10}{x^{3} - x} d x$

ステップ 4

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$5 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 5 d x + \int \frac{5 x^{2} + 5 x + 10}{x^{3} - x} d x$

ステップ 5

定数の法則を当てはめます。

$5 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 5 x + C + \int \frac{5 x^{2} + 5 x + 10}{x^{3} - x} d x$

ステップ 6

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C + \int \frac{5 x^{2} + 5 x + 10}{x^{3} - x} d x$

ステップ 7

部分分数分解を利用して分数を書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

分数を分解し、公分母を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

分数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.1

$5$ を $5 x^{2} + 5 x + 10$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.1.1

$5$ を $5 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{5 (x^{2}) + 5 x + 10}{x^{3} - x}$

ステップ 7.1.1.1.2

$5$ を $5 x$ で因数分解します。

$\frac{5 (x^{2}) + 5 (x) + 10}{x^{3} - x}$

ステップ 7.1.1.1.3

$5$ を $10$ で因数分解します。

$\frac{5 (x^{2}) + 5 x + 5 \cdot 2}{x^{3} - x}$

ステップ 7.1.1.1.4

$5$ を $5 (x^{2}) + 5 x$ で因数分解します。

$\frac{5 (x^{2} + x) + 5 \cdot 2}{x^{3} - x}$

ステップ 7.1.1.1.5

$5$ を $5 (x^{2} + x) + 5 \cdot 2$ で因数分解します。

$\frac{5 (x^{2} + x + 2)}{x^{3} - x}$

ステップ 7.1.1.2

$x$ を $x^{3} - x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.2.1

$x$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{5 (x^{2} + x + 2)}{x \cdot x^{2} - x}$

ステップ 7.1.1.2.2

$x$ を $- x$ で因数分解します。

$\frac{5 (x^{2} + x + 2)}{x \cdot x^{2} + x \cdot - 1}$

ステップ 7.1.1.2.3

$x$ を $x \cdot x^{2} + x \cdot - 1$ で因数分解します。

$\frac{5 (x^{2} + x + 2)}{x (x^{2} - 1)}$

ステップ 7.1.1.3

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{5 (x^{2} + x + 2)}{x (x^{2} - 1^{2})}$

ステップ 7.1.1.4

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.4.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{5 (x^{2} + x + 2)}{x ((x + 1) (x - 1))}$

ステップ 7.1.1.4.2

不要な括弧を削除します。

$\frac{5 (x^{2} + x + 2)}{x (x + 1) (x - 1)}$

ステップ 7.1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1}$

ステップ 7.1.3

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $C$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{x - 1}$

ステップ 7.1.4

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $x (x + 1) (x - 1)$ です。

$\frac{5 (x^{2} + x + 2) (x (x + 1) (x - 1))}{x (x + 1) (x - 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 7.1.5

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 (x^{2} + x + 2) (x (x + 1) (x - 1))}{x (x + 1) (x - 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 7.1.5.2

式を書き換えます。

$\frac{5 (x^{2} + x + 2) ((x + 1) (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 7.1.6

$x + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 (x^{2} + x + 2) ((x + 1) (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 7.1.6.2

式を書き換えます。

$\frac{5 (x^{2} + x + 2) (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 7.1.7

$x - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.7.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 (x^{2} + x + 2) (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 7.1.7.2

$5 (x^{2} + x + 2)$ を $1$ で割ります。

$5 (x^{2} + x + 2) = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 7.1.8

分配則を当てはめます。

$5 x^{2} + 5 x + 5 \cdot 2 = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 7.1.9

$5$ に $2$ をかけます。

$5 x^{2} + 5 x + 10 = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 7.1.10

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.10.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.10.1.1

共通因数を約分します。

$5 x^{2} + 5 x + 10 = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 7.1.10.1.2

$A ((x + 1) (x - 1))$ を $1$ で割ります。

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A ((x + 1) (x - 1)) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 7.1.10.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 1) (x - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.10.2.1

分配則を当てはめます。

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A (x (x - 1) + 1 (x - 1)) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 7.1.10.2.2

分配則を当てはめます。

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 7.1.10.2.3

分配則を当てはめます。

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 7.1.10.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.10.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.10.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 7.1.10.3.1.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 7.1.10.3.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 7.1.10.3.1.4

$x$ に $1$ をかけます。

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 7.1.10.3.1.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A (x^{2} - x + x - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 7.1.10.3.2

$- x$ と $x$ をたし算します。

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A (x^{2} + 0 - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 7.1.10.3.3

$x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A (x^{2} - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 7.1.10.4

分配則を当てはめます。

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 7.1.10.5

$- 1$ を $A$ の左に移動させます。

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - 1 \cdot A + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 7.1.10.6

$- 1 A$ を $- A$ に書き換えます。

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 7.1.10.7

$x + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.10.7.1

共通因数を約分します。

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + \frac{B (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 7.1.10.7.2

$(B) (x (x - 1))$ を $1$ で割ります。

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + (B) (x (x - 1)) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 7.1.10.8

分配則を当てはめます。

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B (x \cdot x + x \cdot - 1) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 7.1.10.9

$x$ に $x$ をかけます。

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B (x^{2} + x \cdot - 1) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 7.1.10.10

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B (x^{2} - 1 \cdot x) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 7.1.10.11

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B (x^{2} - x) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 7.1.10.12

分配則を当てはめます。

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B x^{2} + B (- x) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 7.1.10.13

積の可換性を利用して書き換えます。

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 7.1.10.14

$x - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.10.14.1

共通因数を約分します。

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + \frac{C (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 7.1.10.14.2

$(C) (x (x + 1))$ を $1$ で割ります。

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + (C) (x (x + 1))$

ステップ 7.1.10.15

分配則を当てはめます。

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + C (x \cdot x + x \cdot 1)$

ステップ 7.1.10.16

$x$ に $x$ をかけます。

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + C (x^{2} + x \cdot 1)$

ステップ 7.1.10.17

$x$ に $1$ をかけます。

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + C (x^{2} + x)$

ステップ 7.1.10.18

分配則を当てはめます。

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + C x^{2} + C x$

ステップ 7.1.11

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.11.1

$B$ を移動させます。

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B x^{2} - x B + C x^{2} + C x$

ステップ 7.1.11.2

$- A$ を移動させます。

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} + B x^{2} - x B + C x^{2} + C x - A$

ステップ 7.1.11.3

$- x B$ を移動させます。

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} + B x^{2} + C x^{2} - x B + C x - A$

ステップ 7.2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

式の両辺から $x^{2}$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$5 = A + B + C$

ステップ 7.2.2

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$5 = - 1 B + C$

ステップ 7.2.3

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$10 = - 1 A$

ステップ 7.2.4

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

$10 = - 1 A$

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

$10 = - 1 A$

ステップ 7.3

連立方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

$10 = - 1 A$ の $A$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1.1

方程式を $- 1 A = 10$ として書き換えます。

$- 1 A = 10$

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

ステップ 7.3.1.2

$- 1 A = 10$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1.2.1

$- 1 A = 10$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- 1 A}{- 1} = \frac{10}{- 1}$

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

ステップ 7.3.1.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{A}{1} = \frac{10}{- 1}$

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

ステップ 7.3.1.2.2.2

$A$ を $1$ で割ります。

$A = \frac{10}{- 1}$

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

$A = \frac{10}{- 1}$

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

ステップ 7.3.1.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1.2.3.1

$10$ を $- 1$ で割ります。

$A = - 10$

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

$A = - 10$

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

$A = - 10$

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

$A = - 10$

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

ステップ 7.3.2

各方程式の $A$ のすべての発生を $- 10$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.1

$5 = A + B + C$ の $A$ のすべての発生を $- 10$ で置き換えます。

$5 = (- 10) + B + C$

$A = - 10$

$5 = - 1 B + C$

ステップ 7.3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.2.1

括弧を削除します。

$5 = - 10 + B + C$

$A = - 10$

$5 = - 1 B + C$

$5 = - 10 + B + C$

$A = - 10$

$5 = - 1 B + C$

$5 = - 10 + B + C$

$A = - 10$

$5 = - 1 B + C$

ステップ 7.3.3

$5 = - 10 + B + C$ の $B$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.3.1

方程式を $- 10 + B + C = 5$ として書き換えます。

$- 10 + B + C = 5$

$A = - 10$

$5 = - 1 B + C$

ステップ 7.3.3.2

$B$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.3.2.1

方程式の両辺に $10$ を足します。

$B + C = 5 + 10$

$A = - 10$

$5 = - 1 B + C$

ステップ 7.3.3.2.2

方程式の両辺から $C$ を引きます。

$B = 5 + 10 - C$

$A = - 10$

$5 = - 1 B + C$

ステップ 7.3.3.2.3

$5$ と $10$ をたし算します。

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$5 = - 1 B + C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$5 = - 1 B + C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$5 = - 1 B + C$

ステップ 7.3.4

各方程式の $B$ のすべての発生を $15 - C$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.4.1

$5 = - 1 B + C$ の $B$ のすべての発生を $15 - C$ で置き換えます。

$5 = - 1 (15 - C) + C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

ステップ 7.3.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.4.2.1

$- 1 (15 - C) + C$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.4.2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.4.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$5 = - 1 \cdot 15 - 1 (- C) + C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

ステップ 7.3.4.2.1.1.2

$- 1$ に $15$ をかけます。

$5 = - 15 - 1 (- C) + C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

ステップ 7.3.4.2.1.1.3

$- 1 (- C)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.4.2.1.1.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$5 = - 15 + 1 C + C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

ステップ 7.3.4.2.1.1.3.2

$C$ に $1$ をかけます。

$5 = - 15 + C + C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$5 = - 15 + C + C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$5 = - 15 + C + C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

ステップ 7.3.4.2.1.2

$C$ と $C$ をたし算します。

$5 = - 15 + 2 C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$5 = - 15 + 2 C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$5 = - 15 + 2 C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$5 = - 15 + 2 C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

ステップ 7.3.5

$5 = - 15 + 2 C$ の $C$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.5.1

方程式を $- 15 + 2 C = 5$ として書き換えます。

$- 15 + 2 C = 5$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

ステップ 7.3.5.2

$C$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.5.2.1

方程式の両辺に $15$ を足します。

$2 C = 5 + 15$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

ステップ 7.3.5.2.2

$5$ と $15$ をたし算します。

$2 C = 20$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$2 C = 20$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

ステップ 7.3.5.3

$2 C = 20$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.5.3.1

$2 C = 20$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 C}{2} = \frac{20}{2}$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

ステップ 7.3.5.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.5.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 C}{2} = \frac{20}{2}$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

ステップ 7.3.5.3.2.1.2

$C$ を $1$ で割ります。

$C = \frac{20}{2}$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$C = \frac{20}{2}$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$C = \frac{20}{2}$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

ステップ 7.3.5.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.5.3.3.1

$20$ を $2$ で割ります。

$C = 10$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$C = 10$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$C = 10$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$C = 10$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

ステップ 7.3.6

各方程式の $C$ のすべての発生を $10$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.6.1

$B = 15 - C$ の $C$ のすべての発生を $10$ で置き換えます。

$B = 15 - (10)$

$C = 10$

$A = - 10$

ステップ 7.3.6.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.6.2.1

$15 - (10)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.6.2.1.1

$- 1$ に $10$ をかけます。

$B = 15 - 10$

$C = 10$

$A = - 10$

ステップ 7.3.6.2.1.2

$15$ から $10$ を引きます。

$B = 5$

$C = 10$

$A = - 10$

$B = 5$

$C = 10$

$A = - 10$

$B = 5$

$C = 10$

$A = - 10$

$B = 5$

$C = 10$

$A = - 10$

ステップ 7.3.7

すべての解をまとめます。

$B = 5, C = 10, A = - 10$

ステップ 7.4

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{x - 1}$ の各部分分数の係数を $A$ 、 $B$ 、および $C$ で求めた値で置き換えます。

$- \frac{10}{x} + \frac{5}{x + 1} + \frac{10}{x - 1}$

ステップ 7.5

分数の前に負数を移動させます。

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C + \int - \frac{10}{x} + \frac{5}{x + 1} + \frac{10}{x - 1} d x$

ステップ 8

単一積分を複数積分に分割します。

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C + \int - \frac{10}{x} d x + \int \frac{5}{x + 1} d x + \int \frac{10}{x - 1} d x$

ステップ 9

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C - \int \frac{10}{x} d x + \int \frac{5}{x + 1} d x + \int \frac{10}{x - 1} d x$

ステップ 10

$10$ は $x$ に対して定数なので、 $10$ を積分の外に移動させます。

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C - (10 \int \frac{1}{x} d x) + \int \frac{5}{x + 1} d x + \int \frac{10}{x - 1} d x$

ステップ 11

$10$ に $- 1$ をかけます。

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C - 10 \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{5}{x + 1} d x + \int \frac{10}{x - 1} d x$

ステップ 12

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C - 10 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{5}{x + 1} d x + \int \frac{10}{x - 1} d x$

ステップ 13

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C - 10 (\ln (| x |) + C) + 5 \int \frac{1}{x + 1} d x + \int \frac{10}{x - 1} d x$

ステップ 14

$u_{1} = x + 1$ とします。次に $d u_{1} = d x$ 。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

$u_{1} = x + 1$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1.1

$x + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 14.1.2

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 14.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 14.1.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 14.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 14.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C - 10 (\ln (| x |) + C) + 5 \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{10}{x - 1} d x$

ステップ 15

$\frac{1}{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $\ln (| u_{1} |)$ です。

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C - 10 (\ln (| x |) + C) + 5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{10}{x - 1} d x$

ステップ 16

$10$ は $x$ に対して定数なので、 $10$ を積分の外に移動させます。

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C - 10 (\ln (| x |) + C) + 5 (\ln (| u_{1} |) + C) + 10 \int \frac{1}{x - 1} d x$

ステップ 17

$u_{2} = x - 1$ とします。次に $d u_{2} = d x$ 。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1

$u_{2} = x - 1$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1.1

$x - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 17.1.2

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 17.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 17.1.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 17.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 17.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C - 10 (\ln (| x |) + C) + 5 (\ln (| u_{1} |) + C) + 10 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 18

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C - 10 (\ln (| x |) + C) + 5 (\ln (| u_{1} |) + C) + 10 (\ln (| u_{2} |) + C)$

ステップ 19

簡約します。

$\frac{5 x^{3}}{3} + 5 x - 10 \ln (| x |) + 5 \ln (| u_{1} |) + 10 \ln (| u_{2} |) + C$

ステップ 20

各積分に置換変数を戻し入れます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.1

$u_{1}$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

$\frac{5 x^{3}}{3} + 5 x - 10 \ln (| x |) + 5 \ln (| x + 1 |) + 10 \ln (| u_{2} |) + C$

ステップ 20.2

$u_{2}$ のすべての発生を $x - 1$ で置き換えます。

$\frac{5 x^{3}}{3} + 5 x - 10 \ln (| x |) + 5 \ln (| x + 1 |) + 10 \ln (| x - 1 |) + C$

ステップ 21

項を並べ替えます。

$\frac{5}{3} x^{3} + 5 x - 10 \ln (| x |) + 5 \ln (| x + 1 |) + 10 \ln (| x - 1 |) + C$

微分積分 例

微分積分例