微分積分例

$\int (2 x - 1) \ln (7 x) d x$

ステップ 1

簡約します。

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ステップ 1.1

分配則を当てはめます。

$\int 2 x \ln (7 x) - 1 \ln (7 x) d x$

ステップ 1.2

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (7 x)$ を簡約します。

$\int x \ln ({(7 x)}^{2}) - 1 \ln (7 x) d x$

ステップ 1.3

$- 1 \ln (7 x)$ を $- \ln (7 x)$ に書き換えます。

$\int x \ln ({(7 x)}^{2}) - \ln (7 x) d x$

ステップ 1.4

各項を簡約します。

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ステップ 1.4.1

積の法則を $7 x$ に当てはめます。

$\int x \ln (7^{2} x^{2}) - \ln (7 x) d x$

ステップ 1.4.2

$7$ を $2$ 乗します。

$\int x \ln (49 x^{2}) - \ln (7 x) d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int x \ln (49 x^{2}) d x + \int - \ln (7 x) d x$

ステップ 3

$u = \ln (49 x^{2})$ と $d v = x$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\ln (49 x^{2}) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{2}{x} d x + \int - \ln (7 x) d x$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\ln (49 x^{2}) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{2}{x} d x + \int - \ln (7 x) d x$

ステップ 4.2

$\ln (49 x^{2})$ と $\frac{x^{2}}{2}$ をまとめます。

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{2}{x} d x + \int - \ln (7 x) d x$

ステップ 5

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{2}{x} d x) + \int - \ln (7 x) d x$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$x^{2}$ と $\frac{2}{x}$ をまとめます。

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x^{2} \cdot 2}{x} d x) + \int - \ln (7 x) d x$

ステップ 6.2

$2$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{2 \cdot x^{2}}{x} d x) + \int - \ln (7 x) d x$

ステップ 6.3

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.1

$x$ を $2 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x (2 x)}{x} d x) + \int - \ln (7 x) d x$

ステップ 6.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x (2 x)}{x^{1}} d x) + \int - \ln (7 x) d x$

ステップ 6.3.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x (2 x)}{x \cdot 1} d x) + \int - \ln (7 x) d x$

ステップ 6.3.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x (2 x)}{x \cdot 1} d x) + \int - \ln (7 x) d x$

ステップ 6.3.2.4

式を書き換えます。

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{2 x}{1} d x) + \int - \ln (7 x) d x$

ステップ 6.3.2.5

$2 x$ を $1$ で割ります。

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int 2 x d x) + \int - \ln (7 x) d x$

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int 2 x d x + \int - \ln (7 x) d x$

ステップ 7

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (2 \int x d x) + \int - \ln (7 x) d x$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - 2 (\frac{1}{2}) \int x d x + \int - \ln (7 x) d x$

ステップ 8.2

$- 2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} + \frac{- 2}{2} \int x d x + \int - \ln (7 x) d x$

ステップ 8.3

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2} \int x d x + \int - \ln (7 x) d x$

ステップ 8.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int x d x + \int - \ln (7 x) d x$

ステップ 8.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int x d x + \int - \ln (7 x) d x$

ステップ 8.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} + \frac{- 1}{1} \int x d x + \int - \ln (7 x) d x$

ステップ 8.3.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - \int x d x + \int - \ln (7 x) d x$

ステップ 9

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - \ln (7 x) d x$

ステップ 10

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int - \ln (7 x) d x$

ステップ 11

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C) - \int \ln (7 x) d x$

ステップ 12

$u = \ln (7 x)$ と $d v = 1$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C) - (\ln (7 x) x - \int x \frac{1}{x} d x)$

ステップ 13

簡約します。

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ステップ 13.1

$x$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C) - (\ln (7 x) x - \int \frac{x}{x} d x)$

ステップ 13.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 13.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C) - (\ln (7 x) x - \int \frac{x}{x} d x)$

ステップ 13.2.2

式を書き換えます。

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C) - (\ln (7 x) x - \int d x)$

ステップ 14

定数の法則を当てはめます。

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C) - (\ln (7 x) x - (x + C))$

ステップ 15

簡約します。

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{2} - \ln (7 x) x + x + C$

ステップ 16

項を並べ替えます。

$\frac{1}{2} \ln (49 x^{2}) x^{2} - \frac{1}{2} x^{2} - \ln (7 x) x + x + C$

微分積分 例

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