微分積分例

$\int \frac{5 x + 2}{2 x^{2} + 7 x - 4} d x$

ステップ 1

部分分数分解を利用して分数を書きます。

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ステップ 1.1

分数を分解し、公分母を掛けます。

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ステップ 1.1.1

群による因数分解。

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ステップ 1.1.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot - 4 = - 8$ で和が $b = 7$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 1.1.1.1.1

$7$ を $7 x$ で因数分解します。

$\frac{5 x + 2}{2 x^{2} + 7 (x) - 4}$

ステップ 1.1.1.1.2

$7$ を $- 1$ プラス $8$ に書き換える

$\frac{5 x + 2}{2 x^{2} + (- 1 + 8) x - 4}$

ステップ 1.1.1.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{5 x + 2}{2 x^{2} - 1 x + 8 x - 4}$

ステップ 1.1.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 1.1.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{5 x + 2}{(2 x^{2} - 1 x) + 8 x - 4}$

ステップ 1.1.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{5 x + 2}{x (2 x - 1) + 4 (2 x - 1)}$

ステップ 1.1.1.3

最大公約数 $2 x - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{5 x + 2}{(2 x - 1) (x + 4)}$

ステップ 1.1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $A$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{2 x - 1}$

ステップ 1.1.3

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{2 x - 1} + \frac{B}{x + 4}$

ステップ 1.1.4

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $(2 x - 1) (x + 4)$ です。

$\frac{(5 x + 2) (2 x - 1) (x + 4)}{(2 x - 1) (x + 4)} = \frac{(A) (2 x - 1) (x + 4)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 4)}{x + 4}$

ステップ 1.1.5

$2 x - 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{(5 x + 2) (2 x - 1) (x + 4)}{(2 x - 1) (x + 4)} = \frac{(A) (2 x - 1) (x + 4)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 4)}{x + 4}$

ステップ 1.1.5.2

式を書き換えます。

$\frac{(5 x + 2) (x + 4)}{x + 4} = \frac{(A) (2 x - 1) (x + 4)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 4)}{x + 4}$

ステップ 1.1.6

$x + 4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{(5 x + 2) (x + 4)}{x + 4} = \frac{(A) (2 x - 1) (x + 4)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 4)}{x + 4}$

ステップ 1.1.6.2

$5 x + 2$ を $1$ で割ります。

$5 x + 2 = \frac{(A) (2 x - 1) (x + 4)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 4)}{x + 4}$

ステップ 1.1.7

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.7.1

$2 x - 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.7.1.1

共通因数を約分します。

$5 x + 2 = \frac{A (2 x - 1) (x + 4)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 4)}{x + 4}$

ステップ 1.1.7.1.2

$(A) (x + 4)$ を $1$ で割ります。

$5 x + 2 = (A) (x + 4) + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 4)}{x + 4}$

ステップ 1.1.7.2

分配則を当てはめます。

$5 x + 2 = A x + A \cdot 4 + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 4)}{x + 4}$

ステップ 1.1.7.3

$4$ を $A$ の左に移動させます。

$5 x + 2 = A x + 4 \cdot A + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 4)}{x + 4}$

ステップ 1.1.7.4

$x + 4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.7.4.1

共通因数を約分します。

$5 x + 2 = A x + 4 A + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 4)}{x + 4}$

ステップ 1.1.7.4.2

$(B) (2 x - 1)$ を $1$ で割ります。

$5 x + 2 = A x + 4 A + (B) (2 x - 1)$

ステップ 1.1.7.5

分配則を当てはめます。

$5 x + 2 = A x + 4 A + B (2 x) + B \cdot - 1$

ステップ 1.1.7.6

積の可換性を利用して書き換えます。

$5 x + 2 = A x + 4 A + 2 B x + B \cdot - 1$

ステップ 1.1.7.7

$- 1$ を $B$ の左に移動させます。

$5 x + 2 = A x + 4 A + 2 B x - 1 \cdot B$

ステップ 1.1.7.8

$- 1 B$ を $- B$ に書き換えます。

$5 x + 2 = A x + 4 A + 2 B x - B$

ステップ 1.1.8

式を簡約します。

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ステップ 1.1.8.1

$B$ を移動させます。

$5 x + 2 = A x + 4 A + 2 x B - B$

ステップ 1.1.8.2

$4 A$ を移動させます。

$5 x + 2 = A x + 2 x B + 4 A - B$

ステップ 1.2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

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ステップ 1.2.1

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$5 = A + 2 B$

ステップ 1.2.2

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$2 = 4 A - 1 B$

ステップ 1.2.3

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$5 = A + 2 B$

$2 = 4 A - 1 B$

$5 = A + 2 B$

$2 = 4 A - 1 B$

ステップ 1.3

連立方程式を解きます。

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ステップ 1.3.1

$5 = A + 2 B$ の $A$ について解きます。

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ステップ 1.3.1.1

方程式を $A + 2 B = 5$ として書き換えます。

$A + 2 B = 5$

$2 = 4 A - 1 B$

ステップ 1.3.1.2

方程式の両辺から $2 B$ を引きます。

$A = 5 - 2 B$

$2 = 4 A - 1 B$

$A = 5 - 2 B$

$2 = 4 A - 1 B$

ステップ 1.3.2

各方程式の $A$ のすべての発生を $5 - 2 B$ で置き換えます。

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ステップ 1.3.2.1

$2 = 4 A - 1 B$ の $A$ のすべての発生を $5 - 2 B$ で置き換えます。

$2 = 4 (5 - 2 B) - 1 B$

$A = 5 - 2 B$

ステップ 1.3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.3.2.2.1

$4 (5 - 2 B) - 1 B$ を簡約します。

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ステップ 1.3.2.2.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.2.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$2 = 4 \cdot 5 + 4 (- 2 B) - 1 B$

$A = 5 - 2 B$

ステップ 1.3.2.2.1.1.2

$4$ に $5$ をかけます。

$2 = 20 + 4 (- 2 B) - 1 B$

$A = 5 - 2 B$

ステップ 1.3.2.2.1.1.3

$- 2$ に $4$ をかけます。

$2 = 20 - 8 B - 1 B$

$A = 5 - 2 B$

ステップ 1.3.2.2.1.1.4

$- 1 B$ を $- B$ に書き換えます。

$2 = 20 - 8 B - B$

$A = 5 - 2 B$

$2 = 20 - 8 B - B$

$A = 5 - 2 B$

ステップ 1.3.2.2.1.2

$- 8 B$ から $B$ を引きます。

$2 = 20 - 9 B$

$A = 5 - 2 B$

$2 = 20 - 9 B$

$A = 5 - 2 B$

$2 = 20 - 9 B$

$A = 5 - 2 B$

$2 = 20 - 9 B$

$A = 5 - 2 B$

ステップ 1.3.3

$2 = 20 - 9 B$ の $B$ について解きます。

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ステップ 1.3.3.1

方程式を $20 - 9 B = 2$ として書き換えます。

$20 - 9 B = 2$

$A = 5 - 2 B$

ステップ 1.3.3.2

$B$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 1.3.3.2.1

方程式の両辺から $20$ を引きます。

$- 9 B = 2 - 20$

$A = 5 - 2 B$

ステップ 1.3.3.2.2

$2$ から $20$ を引きます。

$- 9 B = - 18$

$A = 5 - 2 B$

$- 9 B = - 18$

$A = 5 - 2 B$

ステップ 1.3.3.3

$- 9 B = - 18$ の各項を $- 9$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.3.3.3.1

$- 9 B = - 18$ の各項を $- 9$ で割ります。

$\frac{- 9 B}{- 9} = \frac{- 18}{- 9}$

$A = 5 - 2 B$

ステップ 1.3.3.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.3.3.3.2.1

$- 9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 9 B}{- 9} = \frac{- 18}{- 9}$

$A = 5 - 2 B$

ステップ 1.3.3.3.2.1.2

$B$ を $1$ で割ります。

$B = \frac{- 18}{- 9}$

$A = 5 - 2 B$

$B = \frac{- 18}{- 9}$

$A = 5 - 2 B$

$B = \frac{- 18}{- 9}$

$A = 5 - 2 B$

ステップ 1.3.3.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.3.3.1

$- 18$ を $- 9$ で割ります。

$B = 2$

$A = 5 - 2 B$

$B = 2$

$A = 5 - 2 B$

$B = 2$

$A = 5 - 2 B$

$B = 2$

$A = 5 - 2 B$

ステップ 1.3.4

各方程式の $B$ のすべての発生を $2$ で置き換えます。

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ステップ 1.3.4.1

$A = 5 - 2 B$ の $B$ のすべての発生を $2$ で置き換えます。

$A = 5 - 2 \cdot 2$

$B = 2$

ステップ 1.3.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.3.4.2.1

$5 - 2 \cdot 2$ を簡約します。

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ステップ 1.3.4.2.1.1

$- 2$ に $2$ をかけます。

$A = 5 - 4$

$B = 2$

ステップ 1.3.4.2.1.2

$5$ から $4$ を引きます。

$A = 1$

$B = 2$

$A = 1$

$B = 2$

$A = 1$

$B = 2$

$A = 1$

$B = 2$

ステップ 1.3.5

すべての解をまとめます。

$A = 1, B = 2$

ステップ 1.4

$\frac{A}{2 x - 1} + \frac{B}{x + 4}$ の各部分分数の係数を $A$ と $B$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{1}{2 x - 1} + \frac{2}{x + 4}$

ステップ 1.5

式から0を削除します。

$\int \frac{1}{2 x - 1} + \frac{2}{x + 4} d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{1}{2 x - 1} d x + \int \frac{2}{x + 4} d x$

ステップ 3

$u_{1} = 2 x - 1$ とします。次に $d u_{1} = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 3.1

$u_{1} = 2 x - 1$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 3.1.1

$2 x - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

ステップ 3.1.2

総和則では、 $2 x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 3.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 3.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 3.1.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 3.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 3.1.4.1

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$2 + 0$

ステップ 3.1.4.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$2$

ステップ 3.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} + \int \frac{2}{x + 4} d x$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$\frac{1}{u_{1}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} + \int \frac{2}{x + 4} d x$

ステップ 4.2

$2$ を $u_{1}$ の左に移動させます。

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} + \int \frac{2}{x + 4} d x$

ステップ 5

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{2}{x + 4} d x$

ステップ 6

$\frac{1}{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $\ln (| u_{1} |)$ です。

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{2}{x + 4} d x$

ステップ 7

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + 2 \int \frac{1}{x + 4} d x$

ステップ 8

$u_{2} = x + 4$ とします。次に $d u_{2} = d x$ 。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 8.1

$u_{2} = x + 4$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1

$x + 4$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

ステップ 8.1.2

総和則では、 $x + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 8.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 8.1.4

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 8.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 8.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + 2 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 9

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + 2 (\ln (| u_{2} |) + C)$

ステップ 10

簡約します。

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + 2 \ln (| u_{2} |) + C$

ステップ 11

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 11.1

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x - 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} \ln (| 2 x - 1 |) + 2 \ln (| u_{2} |) + C$

ステップ 11.2

$u_{2}$ のすべての発生を $x + 4$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} \ln (| 2 x - 1 |) + 2 \ln (| x + 4 |) + C$

微分積分 例

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