微分積分例

$\int \arctan (8 t) d t$

ステップ 1

$u = \arctan (8 t)$ と $d v = 1$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\arctan (8 t) t - \int t \frac{8}{64 t^{2} + 1} d t$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$t$ と $\frac{8}{64 t^{2} + 1}$ をまとめます。

$\arctan (8 t) t - \int \frac{t \cdot 8}{64 t^{2} + 1} d t$

ステップ 2.2

$8$ を $t$ の左に移動させます。

$\arctan (8 t) t - \int \frac{8 t}{64 t^{2} + 1} d t$

ステップ 3

$8$ は $t$ に対して定数なので、 $8$ を積分の外に移動させます。

$\arctan (8 t) t - (8 \int \frac{t}{64 t^{2} + 1} d t)$

ステップ 4

$8$ に $- 1$ をかけます。

$\arctan (8 t) t - 8 \int \frac{t}{64 t^{2} + 1} d t$

ステップ 5

$u = 64 t^{2} + 1$ とします。次に $d u = 128 t d t$ すると、 $\frac{1}{128} d u = t d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.1

$u = 64 t^{2} + 1$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

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ステップ 5.1.1

$64 t^{2} + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [64 t^{2} + 1]$

ステップ 5.1.2

総和則では、 $64 t^{2} + 1$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [64 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ です。

$\frac{d}{d t} [64 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

ステップ 5.1.3

$\frac{d}{d t} [64 t^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 5.1.3.1

$64$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $64 t^{2}$ の微分係数は $64 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ です。

$64 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

ステップ 5.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$64 (2 t) + \frac{d}{d t} [1]$

ステップ 5.1.3.3

$2$ に $64$ をかけます。

$128 t + \frac{d}{d t} [1]$

ステップ 5.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 5.1.4.1

$1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$128 t + 0$

ステップ 5.1.4.2

$128 t$ と $0$ をたし算します。

$128 t$

ステップ 5.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\arctan (8 t) t - 8 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{128} d u$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{128}$ をかけます。

$\arctan (8 t) t - 8 \int \frac{1}{u \cdot 128} d u$

ステップ 6.2

$128$ を $u$ の左に移動させます。

$\arctan (8 t) t - 8 \int \frac{1}{128 u} d u$

ステップ 7

$\frac{1}{128}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{128}$ を積分の外に移動させます。

$\arctan (8 t) t - 8 (\frac{1}{128} \int \frac{1}{u} d u)$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

$\frac{1}{128}$ と $- 8$ をまとめます。

$\arctan (8 t) t + \frac{- 8}{128} \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 8.2

$- 8$ と $128$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.1

$8$ を $- 8$ で因数分解します。

$\arctan (8 t) t + \frac{8 (- 1)}{128} \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 8.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.2.1

$8$ を $128$ で因数分解します。

$\arctan (8 t) t + \frac{8 \cdot - 1}{8 \cdot 16} \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 8.2.2.2

共通因数を約分します。

$\arctan (8 t) t + \frac{8 \cdot - 1}{8 \cdot 16} \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 8.2.2.3

式を書き換えます。

$\arctan (8 t) t + \frac{- 1}{16} \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 8.3

分数の前に負数を移動させます。

$\arctan (8 t) t - \frac{1}{16} \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 9

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\arctan (8 t) t - \frac{1}{16} (\ln (| u |) + C)$

ステップ 10

簡約します。

$\arctan (8 t) t - \frac{1}{16} \ln (| u |) + C$

ステップ 11

$u$ のすべての発生を $64 t^{2} + 1$ で置き換えます。

$\arctan (8 t) t - \frac{1}{16} \ln (| 64 t^{2} + 1 |) + C$

微分積分 例

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