微分積分例

$\int \frac{1}{x^{2} \sqrt{4 - x^{2}}} d x$

ステップ 1

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $x = 2 \sin (t)$ とします。次に $d x = 2 \cos (t) d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $2 \cos (t)$ は正であることに注意します。

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 - {(2 \sin (t))}^{2}}} (2 \cos (t)) d t$

ステップ 2

項を簡約します。

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ステップ 2.1

$\sqrt{4 - {(2 \sin (t))}^{2}}$ を簡約します。

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ステップ 2.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.1.1

積の法則を $2 \sin (t)$ に当てはめます。

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 - (2^{2} \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 - (4 \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.1.3

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.2

$4$ を $4$ で因数分解します。

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 (1) - 4 \sin^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.3

$4$ を $- 4 \sin^{2} (t)$ で因数分解します。

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.4

$4$ を $4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ で因数分解します。

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 (1 - \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 \cos^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.6

$4 \cos^{2} (t)$ を ${(2 \cos (t))}^{2}$ に書き換えます。

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{{(2 \cos (t))}^{2}}} (2 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.7

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} (2 \cos (t))} (2 \cos (t)) d t$

ステップ 2.2

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 2.2.1

$2 \cos (t)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.1

$2 \cos (t)$ を ${(2 \sin (t))}^{2} (2 \cos (t))$ で因数分解します。

$\int \frac{1}{2 \cos (t) ({(2 \sin (t))}^{2})} (2 \cos (t)) d t$

ステップ 2.2.1.2

共通因数を約分します。

$\int \frac{1}{2 \cos (t) {(2 \sin (t))}^{2}} (2 \cos (t)) d t$

ステップ 2.2.1.3

式を書き換えます。

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2}} d t$

ステップ 2.2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

$2$ を $2 \sin (t)$ で因数分解します。

$\int \frac{1}{{(2 (\sin (t)))}^{2}} d t$

ステップ 2.2.2.2

積の法則を $2 (\sin (t))$ に当てはめます。

$\int \frac{1}{2^{2} \sin^{2} (t)} d t$

ステップ 2.2.2.3

$2$ を $2$ 乗します。

$\int \frac{1}{4 \sin^{2} (t)} d t$

ステップ 3

$\frac{1}{4}$ は $t$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin^{2} (t)} d t$

ステップ 4

$\frac{1}{\sin^{2} (t)}$ を $\csc^{2} (t)$ に変換します。

$\frac{1}{4} \int \csc^{2} (t) d t$

ステップ 5

$- \cot (t)$ の微分係数が $\csc^{2} (t)$ なので、 $\csc^{2} (t)$ の積分は $- \cot (t)$ です。

$\frac{1}{4} (- \cot (t) + C)$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

簡約します。

$\frac{1}{4} (- \cot (t)) + C$

ステップ 6.2

$\frac{1}{4}$ と $\cot (t)$ をまとめます。

$- \frac{\cot (t)}{4} + C$

ステップ 7

$t$ のすべての発生を $\arcsin (\frac{x}{2})$ で置き換えます。

$- \frac{\cot (\arcsin (\frac{x}{2}))}{4} + C$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

分子を簡約します。

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ステップ 8.1.1

交点 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}, \frac{x}{2})$ 、 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、 $\arcsin (\frac{x}{2})$ は正のx軸と、原点から始まって $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}, \frac{x}{2})$ を通る半直線の間の角です。したがって、 $\cot (\arcsin (\frac{x}{2}))$ は $\frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}}{\frac{x}{2}}$ です。

$- \frac{\frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}}{\frac{x}{2}}}{4} + C$

ステップ 8.1.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$- \frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}} \frac{2}{x}}{4} + C$

ステップ 8.1.3

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$- \frac{\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}} \frac{2}{x}}{4} + C$

ステップ 8.1.4

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = \frac{x}{2}$ です。

$- \frac{\sqrt{(1 + \frac{x}{2}) (1 - \frac{x}{2})} \frac{2}{x}}{4} + C$

ステップ 8.1.5

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$- \frac{\sqrt{(\frac{2}{2} + \frac{x}{2}) (1 - \frac{x}{2})} \frac{2}{x}}{4} + C$

ステップ 8.1.6

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{\sqrt{\frac{2 + x}{2} (1 - \frac{x}{2})} \frac{2}{x}}{4} + C$

ステップ 8.1.7

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$- \frac{\sqrt{\frac{2 + x}{2} (\frac{2}{2} - \frac{x}{2})} \frac{2}{x}}{4} + C$

ステップ 8.1.8

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{\sqrt{\frac{2 + x}{2} \cdot \frac{2 - x}{2}} \frac{2}{x}}{4} + C$

ステップ 8.1.9

$\frac{2 + x}{2}$ に $\frac{2 - x}{2}$ をかけます。

$- \frac{\sqrt{\frac{(2 + x) (2 - x)}{2 \cdot 2}} \frac{2}{x}}{4} + C$

ステップ 8.1.10

$2$ に $2$ をかけます。

$- \frac{\sqrt{\frac{(2 + x) (2 - x)}{4}} \frac{2}{x}}{4} + C$

ステップ 8.1.11

$\frac{(2 + x) (2 - x)}{4}$ を ${(\frac{1}{2})}^{2} ((2 + x) (2 - x))$ に書き換えます。

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ステップ 8.1.11.1

$(2 + x) (2 - x)$ から完全累乗 $1^{2}$ を因数分解します。

$- \frac{\sqrt{\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{4}} \frac{2}{x}}{4} + C$

ステップ 8.1.11.2

$4$ から完全累乗 $2^{2}$ を因数分解します。

$- \frac{\sqrt{\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{2^{2} \cdot 1}} \frac{2}{x}}{4} + C$

ステップ 8.1.11.3

分数 $\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{2^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$- \frac{\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((2 + x) (2 - x))} \frac{2}{x}}{4} + C$

ステップ 8.1.12

累乗根の下から項を取り出します。

$- \frac{\frac{1}{2} \sqrt{(2 + x) (2 - x)} \frac{2}{x}}{4} + C$

ステップ 8.1.13

$\frac{1}{2}$ と $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ をまとめます。

$- \frac{\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2} \cdot \frac{2}{x}}{4} + C$

ステップ 8.1.14

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.1.14.1

共通因数を約分します。

$- \frac{\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2} \cdot \frac{2}{x}}{4} + C$

ステップ 8.1.14.2

式を書き換えます。

$- \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)} \frac{1}{x}}{4} + C$

ステップ 8.1.15

$\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$- \frac{\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{x}}{4} + C$

ステップ 8.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$- (\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{x} \cdot \frac{1}{4}) + C$

ステップ 8.3

$\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{x}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$- \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{x \cdot 4} + C$

ステップ 8.4

$4$ を $x$ の左に移動させます。

$- \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{4 x} + C$

微分積分 例

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