微分積分例

$\int 9 z \sqrt{3 z^{2} - 7} d z$

ステップ 1

$9$ は $z$ に対して定数なので、 $9$ を積分の外に移動させます。

$9 \int z \sqrt{3 z^{2} - 7} d z$

ステップ 2

$u = 3 z^{2} - 7$ とします。次に $d u = 6 z d z$ すると、 $\frac{1}{6} d u = z d z$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u = 3 z^{2} - 7$ とします。 $\frac{d u}{d z}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$3 z^{2} - 7$ を微分します。

$\frac{d}{d z} [3 z^{2} - 7]$

ステップ 2.1.2

総和則では、 $3 z^{2} - 7$ の $z$ に関する積分は $\frac{d}{d z} [3 z^{2}] + \frac{d}{d z} [- 7]$ です。

$\frac{d}{d z} [3 z^{2}] + \frac{d}{d z} [- 7]$

ステップ 2.1.3

$\frac{d}{d z} [3 z^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.3.1

$3$ は $z$ に対して定数なので、 $z$ に対する $3 z^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d z} [z^{2}]$ です。

$3 \frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [- 7]$

ステップ 2.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ は $n z^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (2 z) + \frac{d}{d z} [- 7]$

ステップ 2.1.3.3

$2$ に $3$ をかけます。

$6 z + \frac{d}{d z} [- 7]$

ステップ 2.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.1.4.1

$- 7$ は $z$ について定数なので、 $z$ について $- 7$ の微分係数は $0$ です。

$6 z + 0$

ステップ 2.1.4.2

$6 z$ と $0$ をたし算します。

$6 z$

ステップ 2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$9 \int \sqrt{u} \frac{1}{6} d u$

ステップ 3

$\sqrt{u}$ と $\frac{1}{6}$ をまとめます。

$9 \int \frac{\sqrt{u}}{6} d u$

ステップ 4

$\frac{1}{6}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{6}$ を積分の外に移動させます。

$9 (\frac{1}{6} \int \sqrt{u} d u)$

ステップ 5

式を簡約します。

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ステップ 5.1

簡約します。

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ステップ 5.1.1

$\frac{1}{6}$ と $9$ をまとめます。

$\frac{9}{6} \int \sqrt{u} d u$

ステップ 5.1.2

$9$ と $6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.1.2.1

$3$ を $9$ で因数分解します。

$\frac{3 (3)}{6} \int \sqrt{u} d u$

ステップ 5.1.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.1.2.2.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2} \int \sqrt{u} d u$

ステップ 5.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2} \int \sqrt{u} d u$

ステップ 5.1.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{3}{2} \int \sqrt{u} d u$

ステップ 5.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{3}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 6

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$\frac{3}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$\frac{3}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ を $\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ に書き換えます。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 7.2

簡約します。

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ステップ 7.2.1

$\frac{3}{2}$ に $\frac{2}{3}$ をかけます。

$\frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 7.2.2

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{6}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 7.2.3

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{6}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 7.2.4

$6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{6}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 7.2.4.2

式を書き換えます。

$1 u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 7.2.5

$u^{\frac{3}{2}}$ に $1$ をかけます。

$u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 8

$u$ のすべての発生を $3 z^{2} - 7$ で置き換えます。

${(3 z^{2} - 7)}^{\frac{3}{2}} + C$

微分積分 例

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