微分積分例

$\int_{1}^{5} w^{2} \ln (w) d w$

ステップ 1

$u = \ln (w)$ と $d v = w^{2}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\ln (w) (\frac{1}{3} w^{3})]_{1}^{5} - \int_{1}^{5} \frac{1}{3} w^{3} \frac{1}{w} d w$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{3}$ と $w^{3}$ をまとめます。

$\ln (w) \frac{w^{3}}{3}]_{1}^{5} - \int_{1}^{5} \frac{1}{3} w^{3} \frac{1}{w} d w$

ステップ 2.2

$\ln (w)$ と $\frac{w^{3}}{3}$ をまとめます。

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - \int_{1}^{5} \frac{1}{3} w^{3} \frac{1}{w} d w$

ステップ 3

$\frac{1}{3}$ は $w$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{5} w^{3} \frac{1}{w} d w)$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$w^{3}$ と $\frac{1}{w}$ をまとめます。

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{5} \frac{w^{3}}{w} d w)$

ステップ 4.2

$w^{3}$ と $w$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1

$w$ を $w^{3}$ で因数分解します。

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{5} \frac{w \cdot w^{2}}{w} d w)$

ステップ 4.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.1

$w$ を $1$ 乗します。

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{5} \frac{w \cdot w^{2}}{w^{1}} d w)$

ステップ 4.2.2.2

$w$ を $w^{1}$ で因数分解します。

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{5} \frac{w \cdot w^{2}}{w \cdot 1} d w)$

ステップ 4.2.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{5} \frac{w \cdot w^{2}}{w \cdot 1} d w)$

ステップ 4.2.2.4

式を書き換えます。

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{5} \frac{w^{2}}{1} d w)$

ステップ 4.2.2.5

$w^{2}$ を $1$ で割ります。

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{5} w^{2} d w)$

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - \frac{1}{3} \int_{1}^{5} w^{2} d w$

ステップ 5

べき乗則では、 $w^{2}$ の $w$ に関する積分は $\frac{1}{3} w^{3}$ です。

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} w^{3}]_{1}^{5}$

ステップ 6

代入し簡約します。

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ステップ 6.1

$5$ および $1$ で $\frac{\ln (w) w^{3}}{3}$ の値を求めます。

$(\frac{\ln (5) \cdot 5^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} w^{3}]_{1}^{5}$

ステップ 6.2

$5$ および $1$ で $\frac{1}{3} w^{3}$ の値を求めます。

$(\frac{\ln (5) \cdot 5^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 5^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

ステップ 6.3

簡約します。

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ステップ 6.3.1

$5$ を $3$ 乗します。

$\frac{\ln (5) \cdot 125}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 5^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

ステップ 6.3.2

$125$ を $\ln (5)$ の左に移動させます。

$\frac{125 \cdot \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 5^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

ステップ 6.3.3

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 5^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

ステップ 6.3.4

$\ln (1)$ に $1$ をかけます。

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 5^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

ステップ 6.3.5

$5$ を $3$ 乗します。

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \cdot 125 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

ステップ 6.3.6

$\frac{1}{3}$ と $125$ をまとめます。

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{125}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

ステップ 6.3.7

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{125}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1)$

ステップ 6.3.8

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{125}{3} - \frac{1}{3})$

ステップ 6.3.9

公分母の分子をまとめます。

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{125 - 1}{3}$

ステップ 6.3.10

$125$ から $1$ を引きます。

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{124}{3}$

ステップ 6.3.11

$\frac{124}{3}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{124}{3 \cdot 3}$

ステップ 6.3.12

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{124}{9}$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{125 \ln (5) - \ln (1)}{3} + \frac{- 124}{9}$

ステップ 7.2

各項を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$1$ の自然対数は $0$ です。

$\frac{125 \ln (5) - 0}{3} + \frac{- 124}{9}$

ステップ 7.2.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{125 \ln (5) + 0}{3} + \frac{- 124}{9}$

ステップ 7.3

$125 \ln (5)$ と $0$ をたし算します。

$\frac{125 \ln (5)}{3} + \frac{- 124}{9}$

ステップ 7.4

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{124}{9}$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{124}{9}$

10進法形式：

$53.28213524 \dots$

微分積分 例

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