微分積分例

$\int_{0}^{1} x^{2} + \sqrt{x} d x$

ステップ 1

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} \sqrt{x} d x$

ステップ 2

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} \sqrt{x} d x$

ステップ 3

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} x^{\frac{1}{2}} d x$

ステップ 4

べき乗則では、 $x^{\frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ です。

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}$

ステップ 5

答えを簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}$ と $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}$ をまとめます。

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}$

ステップ 5.2

代入し簡約します。

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ステップ 5.2.1

$1$ および $0$ で $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ の値を求めます。

$(\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}) - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

ステップ 5.2.2

簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

ステップ 5.2.2.2

$\frac{1}{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

ステップ 5.2.2.3

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{3} + \frac{2}{3} \cdot 1 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

ステップ 5.2.2.4

$\frac{2}{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{3} + \frac{2}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

ステップ 5.2.2.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1 + 2}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

ステップ 5.2.2.6

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

ステップ 5.2.2.7

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.7.1

共通因数を約分します。

$\frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

ステップ 5.2.2.7.2

式を書き換えます。

$1 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

ステップ 5.2.2.8

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$1 - (\frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

ステップ 5.2.2.9

$\frac{1}{3}$ に $0$ をかけます。

$1 - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

ステップ 5.2.2.10

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$1 - (0 + \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})$

ステップ 5.2.2.11

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$1 - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

ステップ 5.2.2.12

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.12.1

共通因数を約分します。

$1 - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

ステップ 5.2.2.12.2

式を書き換えます。

$1 - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{3})$

ステップ 5.2.2.13

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$1 - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0)$

ステップ 5.2.2.14

$\frac{2}{3}$ に $0$ をかけます。

$1 - (0 + 0)$

ステップ 5.2.2.15

$0$ と $0$ をたし算します。

$1 - 0$

ステップ 5.2.2.16

$- 1$ に $0$ をかけます。

$1 + 0$

ステップ 5.2.2.17

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例