微分積分例

$\int_{0}^{7} \sqrt{y + 9} d y$

ステップ 1

$u = y + 9$ とします。次に $d u = d y$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = y + 9$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$y + 9$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [y + 9]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $y + 9$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [9]$ です。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [9]$

ステップ 1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d y} [9]$

ステップ 1.1.4

$9$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 1.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 1.2

$u = y + 9$ の $y$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 0 + 9$

ステップ 1.3

$0$ と $9$ をたし算します。

$u_{lower} = 9$

ステップ 1.4

$u = y + 9$ の $y$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 7 + 9$

ステップ 1.5

$7$ と $9$ をたし算します。

$u_{upper} = 16$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = 16$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{9}^{16} \sqrt{u} d u$

ステップ 2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int_{9}^{16} u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 3

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{9}^{16}$

ステップ 4

代入し簡約します。

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ステップ 4.1

$16$ および $9$ で $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ の値を求めます。

$(\frac{2}{3} \cdot 16^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}$

ステップ 4.2

簡約します。

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ステップ 4.2.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$\frac{2}{3} \cdot {(4^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}$

ステップ 4.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{2}{3} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}$

ステップ 4.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{3} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}$

ステップ 4.2.3.2

式を書き換えます。

$\frac{2}{3} \cdot 4^{3} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}$

ステップ 4.2.4

$4$ を $3$ 乗します。

$\frac{2}{3} \cdot 64 - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}$

ステップ 4.2.5

$\frac{2}{3}$ と $64$ をまとめます。

$\frac{2 \cdot 64}{3} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}$

ステップ 4.2.6

$2$ に $64$ をかけます。

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}$

ステップ 4.2.7

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}}$

ステップ 4.2.8

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}$

ステップ 4.2.9

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.9.1

共通因数を約分します。

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}$

ステップ 4.2.9.2

式を書き換えます。

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{3}$

ステップ 4.2.10

$3$ を $3$ 乗します。

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 27$

ステップ 4.2.11

$27$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{128}{3} - 27 (\frac{2}{3})$

ステップ 4.2.12

$- 27$ と $\frac{2}{3}$ をまとめます。

$\frac{128}{3} + \frac{- 27 \cdot 2}{3}$

ステップ 4.2.13

$- 27$ に $2$ をかけます。

$\frac{128}{3} + \frac{- 54}{3}$

ステップ 4.2.14

$- 54$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.14.1

$3$ を $- 54$ で因数分解します。

$\frac{128}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3}$

ステップ 4.2.14.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.14.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{128}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3 (1)}$

ステップ 4.2.14.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{128}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3 \cdot 1}$

ステップ 4.2.14.2.3

式を書き換えます。

$\frac{128}{3} + \frac{- 18}{1}$

ステップ 4.2.14.2.4

$- 18$ を $1$ で割ります。

$\frac{128}{3} - 18$

ステップ 4.2.15

$- 18$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{128}{3} - 18 \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 4.2.16

$- 18$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{128}{3} + \frac{- 18 \cdot 3}{3}$

ステップ 4.2.17

公分母の分子をまとめます。

$\frac{128 - 18 \cdot 3}{3}$

ステップ 4.2.18

分子を簡約します。

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ステップ 4.2.18.1

$- 18$ に $3$ をかけます。

$\frac{128 - 54}{3}$

ステップ 4.2.18.2

$128$ から $54$ を引きます。

$\frac{74}{3}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{74}{3}$

10進法形式：

$24.\overline{6}$

帯分数形：

$24 \frac{2}{3}$

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例